思维教学概率统计论文范文

思维教学概率统计论文范文第1篇

摘要：随着科学技术和社会经济的发展，传统的概率统计教学必须进行改革，以适应当前形势。为此，本文结合桂林电子科技大学工科院校的教学实际，就自己近年来讲授概率统计课的实践经验，从教学思想、教学案例、教学方法手段等方面分析工科院校概率统计教学改革实践，以加强学生对概率统计思想的领悟，增强运用概率统计思想解决实际问题的能力。

关键词：概率统计；教学案例；数学改革；能力

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，是本科院校工科各专业必修的一门重要的基础理论课程。通过本课程的教学，学生可以掌握概率论与数理统计的基本理论和方法，培养运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力，并为后续专业课程的学习打下良好的数学基础。

随着科学技术和社会经济的发展，今天的教育定位也在发展。中国工程院院士、教育部前副部长韦钰认为，当前教育面临着的问题是：我们今天教的学生，将来要用我们不知道的知识去解决我们不知道的问题，而且是在国际竞争的背景下。随着科学技术和知识更新速度的不断加快，传统的概率统计教学必须进行改革，以加强学生对概率统计思想的领悟，增强运用概率统计思想解决实际问题的能力。

本人近年来一直担任“概率论”或“概率论与数理统计”的课程教学任务，结合桂林电子科技大学工科院校的教学实际及自己近年来上课的实践经验，在教学思想、教学方法手段等方面进行了分析和探讨。

一、概率与统计课程的发展、地位和作用

教师要高屋建瓴地了解概率与统计课程的发展、地位和作用。只有意识到上述问题，教师才能在教学过程中不仅传授数学知识，而且注重学生思维和能力的培养，从而避免让学生只是单纯地学习概念、公式和计算方法。因此，教师要通过学习和研究，深入理解概率与统计课程的发展、地位和作用，不能陷入“是什么内容就讲什么”的机械、枯燥的怪圈。

二、注重公共基础课程间的关联性

公共基础课程包括高等数学、线性代数和概率与统计等，是相互关联的。比如概率与统计，涉及一维（二维）连续随机变量的数学期望部分，就会用到高等数学中的定积分（或二重积分）。很多学生这时可能将定积分和二重积分的计算忘记，所以教师讲课时往往要根据学生的实际情况，对高等数学的积分部分进行适当复习。

三、概率与统计课程课堂教学的实践经验

教师要认真备课，精心施教，积累概率与统计课程课堂教学实践经验，包括课程总体设计思路、课程框架和学时安排、教学案例、例题的选取及讲解技巧等。

1.借助网络新技术授课。我们以前在教学过程中一直是采用板书教学，近年来在教学中已适当借助网络资源，对某些重要的知识点适当运用微课、慕课或网络课程等方式，激发学生的学习兴趣，调动他们的学习积极性，提高教学效率。

2.课程框架及学时安排。针对不同专业，我们学校的概率与统计课程设置有32学时的，也有48学时的。学生可根据自己的数学基础和专业需求，选择不同的课程和喜欢的任课教师。而且在上课时，教师要尽量选择与各专业相关的例题和案例，以提高学生运用概率统计解决实际问题的能力。但就目前工科各门基础课来说，学生数一般为150人甚至200人左右的教学班[1]。目前我校正在尽量逐步减少每个教学班的人数，控制在每班120人以下，以增加课堂师生互动，提高教学效果。

3.教学案例及例题的选取。概率与统计课程的作用是：使学生系统掌握概率与统计的基本知识，提高数学素养（如抽象思维、逻辑思维等），培养应用数学能力（建立数学模型、应用数学分析、进行数值计算、模拟和仿真等）。如何在有限的课堂时间内做到这些，是每个教师为之努力的事情。这就需要教师“精雕细刻”，精心设计课堂教学思路，巧妙选取教学案例，注重例题讲解方法，使学生能够融会贯通地掌握知识、方法和能力。

4.教学方法中，注重以解决实际问题为导向引入新课。以概率的公理化定义引入为例[2]，如果课堂教学中教师直接给出概率的公理化定义、性质、计算方法等，学生往往会比较困惑。其一，概率的公理化定义中的三条性质——非负性、规范性和有限可加性，意义何在？其二，概念比较抽象、索然无味，学生容易机械记忆，这使得课堂教学效果变差。如果教师从引例开始，先是让学生自己抛10次硬币，计算出现正面的频率。之后教师引导学生观察抛100次硬币正面的频率、抛200次硬币正面的频率，以此类推，一步步发现规律，从而得到频率与概率的关系、频率的性质及概率的定义和性质。

在教学中，教师一定把握好教学内容的关键所在，即使是概率统计课程也不仅仅是计算、证明，更重要的是要教会学生发现问题、找到解决问题的途经、方法。教学有方，教无定法，贵在得法。

四、将数学建模思想融入概率统计课程

如何将概率统计课程的内容与解决实际问题相融合[3]，以达到实践创新的目的，是每位概率统计课程教师应思考和解决的问题。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。

传统的概率统计教学，较多地注重数学公式的推导、计算能力的训练，忽略知识的实际应用，以至于很多学生的实际应用能力得不到发展。如何在教学中提高学生应用概率与统计的实际能力？那就要在教学内容中吸收和融入与实际问题有关的应用性题目，将数学建模思想融入概率统计课程。通过理论与实际相结合，在解决应用性题目的同时，更加有利于学生理解和掌握概率统计课程的相关内容。

五、信息化优质资源的合理运用

一些开放的、优质的信息化教学资源可以应用到课堂上，提高教学效果和效率。教师如果能很好地收集、研究和运用这些信息化优质资源，就能在课堂教学中把优质的教学资源介绍给学生，进而提高他们的移动学习能力、开放式教学资源运用能力，共享有质量的教育，甚至发展终身教育。教师也要通过引入多媒体资源，更清晰生动、透彻地对教授内容进行讲解、剖析，而且要清楚哪些内容适合你所教授的专业学生，或者哪些内容通过学习可以更加精深地传递给学生。集优质资源和优秀思想于一身的教师，一定可以带动一批学生学会学习、学会思考、学会创造，最终达到“教是为了不教”的目标。

参考文献：

[1]马文联，孟品超.工科数学教学改革及对大学生创新能力培養的作用[J].长春理工大学学报：社会科学版，2005，18（3）：13-14，17.

[2]李晓毅，徐兆棣.概率统计教学与数学建模思想的融入[J].沈阳师范大学学报：自然科学版，2008，26（2）：245-247.

[3]吴赣昌.概率论与数理统计（理工类·第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

思维教学概率统计论文范文第2篇

摘 要：现代成人教育在我国继续教育发展中占据重要地位。不同于全日制本科教学，现代成人教育的对象多是有工作的社会人士，学习的时间有限、工作地点各不相同，如何在有效的教学时间内，高效地展开教学活动、提高教学质量，是目前成人教育教学研究的重要课题。文章聚焦于工程数学这门理工类与管理类专业必修基础理论课，探究如何运用微课高效地展开概率统计教学活动，发挥微课的优势，提出了建立起新型、高效教学模式的有效策略。

关键词：成人教育 工程数学 概率统计教学 微课实践

文献标识码：A

工程数学课程中统计概率教学的重点，在于让学生通过课程学习，掌握处理随机现象的基本思想与基本方法，其中线性代数、概率论与数理统计是重中之重。然而，工程数学课程中概念较多，多是抽象性、复杂性的知识点，又是理工类与管理类专业成人教育必修基础理论课，此门课程的教学效果、教学质量，对学生理工类与管理类专业成人教育后期课程学习影响较大。鉴于此，运用微课展开现代成人教育概率统计教学，主要有两个目的，一是发挥微课的优势，围绕某一知识或是技能，针对性、高效地展开教学活动，从而在有限时间内提高学生的学习效率、学习效果，深化对线性代数、概率论与数理统计等知识点的理解;二是基于微课搭建适合学生的新型教学模式与学习方式，运用微课促进学生探究性自主学习，满足不同学生的需要，让学生在微课的帮助下，能运用数学知识分析、解决相关实际问题，为专业后续课程学习奠定数学基础。

一、现代成人教育线性代数与概率统计教学中微课实践的意义

工程数学是一门逻辑性、严谨性较强的数学学科，概率统计这部分的内容主要关于随机现象的统计规律性，与高等数学、线性代数等数学课程不同，工程数学有着独属于自身的特点。在高等院校理工类与管理类专业成人教育体系中，由于工程数学课程内容较多但学时较少，为了完成教学任务，教师倾向于采用讲授法展开教学活动，或者是抛弃教材后面的一部分内容，只讲前面比较重要的章节，以致于学生要么是没学完，要么是没学会，多数成教学生都认为这是一门非常难学的课程。其实，工程数学课程学习难度并不大，只是课程中所涉及的概念、公式较多，这些知识内容非常抽象、难以理解，才会使得学生望而却步，对这门课心生畏惧。运用微课，展开工程数学的概率统计教学，具有以下意义。

（一）提高概率统计教学质量

比对常规教学方式，微课具有自身独特的优势，能直观、想象地呈现抽象性、复杂性的概念、公式，便于成教学生认知、理解与内化。微课以教学视频为载体，反映的是教师在教学过程中针对某个知识点或是教学环节所展开的教与学活动，是各种教学资源的有机组合。运用微课，展开工程数学课程的概念性知识教学，有利于成教学生接受与理解，这样学生就能克服以往概率统计教学更注重概念学习的难点，通过观看微课视频或是在微课视频引导下分析实际问题，学生对基本概念的认识，从而更好地掌握与运用概率计算技能，降低概率统计知识内容的学习难度。

（二）调动成教学生学习有效性

成教学生年龄差距较大，学习能力和态度、数学基础差距较大，针对这种情况，若是对学生一概而论，直接针对课程内容展开始讲授，会影响学生学习的积极性，也会削弱课堂教学质量。利用微课展开概率统计教学，可针对每个学生的学习情况与个性需求，录制相应的微课视频在课前分享给学生，便于成教学生在课前巩固中学数学基础、预习概率统计的数学内容，从而提高对高等数学基础理论知识的理解，奠定学生学好概率统计的基础。毕竟，工程数学课程中的概率统计内容，与随机现象统计规律性研究有关，其内容高度抽象、逻辑严密，学习此课程一定要有相应的高等数学基础理论知识，运用微课既能帮助学生回顾所学的中学数学知识，又能帮助学生理解、吸收知识，从而降低成教学生学习概率统计的难度，提高成教学生学习的有效性。

二、现代成人教育线性代数与概率统计教学微课实践存在的问题

运用微课展开概率统计教学，还需打破传统教学模式的局限，在电子备课、课堂教学以及成教学生自主学习中，结合实际情况引入微课资源，以提升现代成人教育概率统计教学的有效性。现代成人教育工程数学课程的大纲教学内容比较固定，这些年来大体上授课内容变化不大，但課程教学过程中还存在一些问题，会影响到微课的运用。主要问题如下所示。

（一）课型多样，学生学习动力不强

大体上，工程数学这门课程主要分为五种类型，分别是概念课、命题课、解题课、复习课以及测验评价课，其中概念课以及解题课所占的比重最大。这五种课型各自具有一定的独立性，教学过程中需充分体现各种课型的个性与风格，这也就意味着微课的运用要视课型而定，需要针对课型特点与教学内容，针对性、有效性地引入微课资源，才能提高教学效果。然而，由于有些成教学生基础比较薄弱，工程数学课程具有广泛应用性、严密逻辑性等特点，成教学生学习动机具有多样性特点，有些认为这门课与工作关系不大，学习动力不强，进一步加大了教师运用微课进行备课、授课的难度。

（二）学习自主性不强，习惯于先教后学

成人学生虽然进入社会工作，但在学习上依旧受到了传统教学模式的影响，习惯于被动接受知识灌输、习惯于先教后学。纵然，现代成人教育是以学生自学为主，面授为辅，可由于面授教学课时较少、内容多、进度快等特点，导致成教学生对知识的理解与吸收比较困难，久而久之就失去了学习自主性与积极性。特别是在概念、定理类知识学习中，很容易出现疲劳现象。尽管有些成教学生很想学，但受时间或是习惯等各种因素的限制，学生在面授教学中能吸收的知识70～80%，但理解程度远远不及此。加之，大部分的成教学生并不会进行课前预览，也就很难参与课堂中，也就谈不上有多大的学习效果。这种情况下，微课的运用也难以发挥作用。

三、现代成人教育线性代数与概率统计教学中微课实践方法

微课在现代成人教育概率统计教学中的应用优势较为明显。因为，微课具有时间短、主题明确、知识内容灵活精简、自主选择性等特点，运用微课打造工程数学微课程，能以较小的资源容量，突出教学的重点、难点与疑难内容，以观看教学视频为主线，引领成教学生理解知识、探究问题以及应用知识解决问题，辅助教师了解教学行为的反馈，从而不断地调整、优化现代成人教育概率统计教學效果。与传统教学模式相比，微课的运用切实能帮助教师高效、有序地展开工程数学课程的概率统计教学活动，进一步促进成教学生自主学习。

（一）准确把握教学大纲，录制契合学生个性需求的微课视频

工程数学的课程内容多、知识点多，每个成教学生的数学基础不同，实现概率统计教学中微课实践，教师要先对教学大纲、成教学生学情展开调查与分析，基于成教学生的年龄、学习以及数学基础，掌握每个学生的学习动机及薄弱点，进而基于教学大纲、教学计划、学生学情，将从互联网、生活与教学实践中收集到的多样教学资源，制作成直观、形象的微课视频，在面授课之前将其共享到平台，便于成教学生通过远程学习、在线学习、“泛在学习”等方式，借助微课视频提前进行课程内容的预习或是巩固中学数学基础知识。例如，在“离散型随机变量”一课前，教师可围绕分布列和已知分布列求某事件的概率、分布函数、函数分布列、数学期望及其函数数学期望、方差等，基于每个成教学生的学习特点，录制不同风格、不同内容的微课视频，以满足成教学生的个性化学习需求，激发学生的学习兴趣。

（二）配合多媒体技术，运用微课扩展课堂知识容量

在现代成人教育工程数学课程的线性代数面授课堂上，运用多媒体技术配合微课教学，有利于将抽象的概念、复杂的定理类知识，以直观、生动、形象的方式呈现在成教学生眼前，拓展课堂教学知识容量的同时，深度挖掘教材中的知识内容，便于学生从深度、广度两方面认识、理解教学内容。面授课是成教学生与教师接触的主要途径，在面授课上成教学生主要是在教师的引导下对所学知识进行回顾、分析与梳理，面授课可以是新授课，也可以是命题课、复习课等，针对不同的课型特点，教师应选择不同的微课资源，发挥多媒体技术的辅助作用，提高学生的学习兴趣与教学效果。例如，在“行列式”一课上，由于是新授课，所讲解的内容是“阶行列式的性质、代数余子式的定义和性质、简单的n阶行列式、克拉默法则”比较抽象且复杂，为在上课之初让成教学生进入学习状态，教师可在课堂导入环节，以多媒体先播放本节课的重点知识内容：

一是行列式与它的转置行列式相等;二是互换行列式的两行（列），行列式变号;三是行列式的某一行（列）中所有元素都都乘以同一个数k，等与用数k乘以此行列式;四是行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零;五是若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则为两元素拆开的行列式之和;六是把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变。

在此基础上引入微课资源，对阶行列式的性质的基本性质及内容进行讲解，让成教学生能直观地了解课堂知识以及在观看微课视频过程中理解知识、运用知识，从而提高成教学生学习效率。

四、结语

综上所述，随着现代教育技术的飞速发展，现代成人教育也朝着远程、在线前进，微课作为一种“互联网+”下的新型教学模式，能为学生提供探究性自主学习的平台，在现代成人远程开放教育培养模式中地位与作用不断凸显。将微课运用在现代成人教育工程数学课程中教学实践中，旨在利用微课资源、微课教学模式，提高工程数学课程概率统计教学质量，提高学生学习的积极性与自主性。

[基金项目：本论文系校级课题“微课堂在开放教育课程教学中的应用研究——以工程数学为例”（课题编号 XDK2019-C-16）的研究成果。）]

参考文献：

[1] 黄远敏，杨龙，李英华，等.微课在概率统计教学中的应用[J].教育观察，2017，006（011）：P.117-118.

[2] 徐静.现代成人教育概率统计教学中微课实践与认识.

[3] 张欢枝，李敏.微课教学在成人教育中的实践与思考[J].考试周刊， 2016，000（077）：156-156.

[4] 崔石买.微课在高职概率统计中的应用探讨[J].现代职业教育， 2019，000（030）：176-177.

[5] 张玲玲，黄建华，黄立宏.基于微课的概率论与数理统计翻转课堂教学模式实践[J].高教学刊，2017（08）

[6] 姜文彪，孙秀娟.微课在概率论与数理统计教学中的应用[J].高师理科学刊，2016，36（11）：70-70.

（作者单位：湖南开放大学 湖南长沙 410004）

[作者简介：曹晓平（1980—），女，汉族，湖南桃江人，硕士研究生，湖南开放大学讲师，研究方向：数学教育、成人教育研究。]

（责编：赵毅）

思维教学概率统计论文范文第3篇

摘  要： 以高职公共基础课应用数学的线上教学为例，探讨高职学校线上教学存在的问题，分析原因，提出疫情下提高线上教学实效性的策略，提出学生返校后的在线教学建议。

关键词： 新冠肺炎疫情; 线上教学; 教学困境

2020年初，新型冠状病毒肺炎疫情突发，为阻断疫情的扩散，特别是向校园的蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部向全国的大中小学下发通知，要求2020年春季学期延期开学。但“停课不停教、停课不停学”，全国上下各级学校开展了线上教学。大规模线上教学，是一个庞大的工程，而且首次展开，势必会出现各种问题。因此，本文将以应用数学等高职公共基础课的线上教学为例，探讨高职院校线上教学存在的问题，分析原因，进而提出疫情下提高线上教学实效性的策略，并提出学生返校后的在线教学建议。

一、存在的问题

（一）线上教学互动反馈难

有效的师生互动是保证教学质量的关键。但一方面疫情突发，师生都没有做好充足的准备，教师缺乏高配置的摄像头、耳机、麦克等硬件设备，特别是部分学生未带电脑回家，有的家里没有网络或网络信号差，普遍存在单纯利用手机直播或学习的现象，而且各平台由于同时在线人数过多，运行过程常出现延迟、卡顿、难以登录、功能受限、崩溃等现象，教与学的流畅度和体验性降低，客观上妨碍了互动反馈。另一方面，师生分离、教学分离、时空分离，不同于实体课堂面对学生，教师随时可以从学生表情变化中发现他们对具体问题或话语的疑惑、满意或厌倦，线上教学教师对学生的学习状态和行为不能全面及时掌握，无法进行有效互动、管理、监督。教师提问经常会遇到没人应答或是大家百度复制粘贴或者钉钉群里复制别的同学的答案的尴尬，还要忍受延时的困扰，焦急期待学生的配合。学生有问题，有时不能得到及时回复，而一个问题不懂就会导致一连串的问题不懂。部分学生的自主性、自控性不强，甚至出现视频在放，学生不看的情况，教学互动反馈受限。

（二）持续吸引学生兴趣难

线上教学，教师和学生都是初次接触，一方面，教师在接到在线授课通知后，仓促上阵，对教学资源并不熟悉，没有经过处理和消化，未厘清线下教学和线上教学的区别，把传统课堂直接搬到线上，也未考虑资源的适应性和针对性问题，课程内容难以持续吸引学生的注意力。另一方面，部分高职学生的数学、英语等公共课程的基础本来就较弱，对数学的信心不足，有畏难心理，甚至有厌倦感。同时，由于之前的学习中没有养成良好的数学学习习惯，再加上居家上课，教学缺乏仪式感，师生之间缺乏深度交流和互动，每天对着冷冰冰的屏幕，没有实体课堂氛围的约束与浸润，自身自主性、自控性不强，有可能出现学生“葛优躺”在床上、拿着手机听课，很难长时间集中注意力，對课堂难以产生持续的兴趣。

（三）在线教学的学习效果评价难

在线教学中，对教学效果的评价既是重点也是难点。一般而言，对授课效果可以从过程和结果两个方面进行评价。线上教学，不同于线下面授实体课教师与学生面对面，教师随时可以从学生表情变化中了解学生的掌握情况，而主要通过签到、在线时长、课堂简单互动次数、学习平台测验结果等外部技术手段，对不同学生的听课情况进行记录和评价，有一定的滞后性局限性。同时，学生学习的真实效果、对课程讲授内容的理解和把握程度也难以评价。

二、疫情下提高线上教学实效性的策略

（一）优化教学设计

在线教学的互动反馈难，师生难以开展“高行为活动”，因此学生的持续学习兴趣和教学效果更加依赖于教师设计“学生思维发展为中心”的高认知活动的能力。根据美国心理学教授梅耶提出的注意、组织、整合三个环节的意义学习理论，要提高线上教学的实效性，需对教学进行重新设计[1]。

线上教学，激发强烈的思维动机最重要。首先，基于动机激发对教学进行重新设计，以便引起学生的注意。（1）营造新异感。通过适合在镜头前亮相的道具、“意料之外”的关联内容、“意料之外”的幽默语言等，带给学生新异的感受。（2）激发情感。情绪情感，是价值的标尺，是认知的动机。特别是，疫情下学生对疫情普遍较为关注，部分学生情绪低落甚至出现焦虑的情绪，教师可多给学生制造参与感，刷刷存在感、博取共情;多提问创造机会让学生表达等，设置课前自主学习任务和课上互动环节，引导学生多参与课堂的集体或者小组活动，并对学生的积极表现给予及时的鼓励和表扬。（3）设置悬念。格式塔心理学认为：人天生有完形填空的心理趋向。如果学生对话题感兴趣，信息缺口会使其产生强大的心理张力直至补全信息缺口，从而激发学习的动机。（4）引发认知冲突。“认知冲突是已知和已知的矛盾。当有两个解释或者两个经验，但结果不一样时，自我冲突了，人有追求认知一致的强烈心理动力，”[1]可唤醒学生的探究欲望。比如在极限概念中，引入芝诺悖论，引发学生的认知冲突，从而激发学生学习的动机，提高兴趣。（5）与专业、学生的职业发展需求相结合，比如针对会计专业的第二个重要极限教学设计时，联系专业课“财务成本管理”的连续复利终值、现值等知识点，让学生体会到数学的作用，努力学好数学。（6）与时事结合。当下学生广泛关注疫情。因此在极限概念的教学设计时，选用疫情期间的数据，引导学生读懂数据背后的内涵，向一线人员致敬，培养学生的科学精神。同时，鼓励学生尽管居家学习也要端正态度，认真主动学习，做好个人防护，这也是积极抗疫的一种表现。

其次，在教学设计中重视类比思维的运用。学习的本质就是在不同的信息之间创建链接的过程，尤其是要让学生的内部经验和外部信息之间建立链接，通过类比将知识有效地组织和整合[1]。（1）通过两个案例，让学生进行类比，找到相似之处，进而自行发现规律。（2）将熟悉的东西与需要学习的新知识进行类比。比如在极值最值教学设计中，引入喜马拉雅山脉中超过7300米的山峰有110座，珠穆朗玛峰是其中的最高峰等，帮助学生透彻理解相关概念的联系与区别。同时，注重内容可视化结构化的呈现，对课件进行优化。

最后，教学设计要注重帮助学生有效提取与输出[1]。教师要多创造机会让学生开展提取的思维活动，特别是输出式学习，用“显性化”的方式，来促使思维更加清晰、明确。鼓励学生在通过听讲初步掌握知识后，借助Xmind等思维导图软件或者手画，创作式输出深化理解，真正提高学习效果。

（二）引导学生自主学习

教师应采取适当方法、设计有效的途径，激励学生主动学习、自主学习，可以以专业相关或者和当下疫情相关的问题为导向，吸引学生开展线上自学，比如在讲极限的概念时，与当下的疫情结合，鼓励学生搜集采取防控措施后感染人员的增长速率等数据，引导学生读懂数据背后的内涵;将数学知识与专业需求结合，在第二个重要极限时引导学生联系专业课“财务成本管理”中的连续复利终值、现值，通过自主探讨理解专业课中相关公式的来源，提高学生学习的兴趣，同时实现数学为专业服务、为提升学生素养服务的目标;在讲边际、弹性的概念时，可引导学生联系当下国内各城市发放电子消费券全民抢消费券的现象，并引导学生计算消费券带来的边际消费倾向，同时与德国、日本之前发放的实体消费券带来的边际消费倾向进行对比，并结合专业课中的相关知识概念或者自行搜索网上的分析，分组分析差异产生的内在深层原因。

教师扮演好导播的角色。灵活运用引导探究为主的启发法、讨论法、案例分析法等多种方法，注重学生的主动探索。在线上授课中要突破师生角色的限制，以学生为主体、教师为主导，走向互教互学的学习共同体。学生根据平台上发放的资源预习—课上分组展示课前自主学习成果—教师点评总结—学生练习（省平台测验，纸上写，然后拍照上传到钉钉对话框等）—师生互评，形成“教、学、练、测、评”的翻转课堂闭环。针对部分问题，同学们可能会出现人云亦云的情况。采取QQ群、钉钉群投票的方式，真正了解学生掌握知识的情况。

（三）加强在线教学规范

首先备足课程资源。虽然相关的教学平台已经上传了课程的相关资源，但是大规模线上授课，网络平台经常拥堵，所以需提前将相关的电子教材（如《高等数学》、《高等数学学习手册》）、微课、PPT等传到QQ群和钉钉群，供学生自主学习。同时，熟练掌握备用平台如腾讯课堂等的使用方法，确保教学顺畅进行。

其次，教师要以身作则。至少提前15分钟进入直播课堂，PC端利用钉钉进行实时讲解时，通过手机端实时关注课程的互动情况，根据学生的情况随时调整语速、进度等，并及时解答学生的疑问。下课后要及时关注学生的动态，可借助钉钉的直播回放中的详细统计和各学习平台的后台统计数据，对学生的课堂表现及完成作业的情况进行查阅和评价，及时反馈到QQ群，表扬先进，督促落后。随时在QQ群、钉钉群进行答疑，鼓勵学生私信老师，进行差异化辅导。高职百万扩招后，学生来源多元化，考虑到同一个班的学生，数学基础和数学学习兴趣差异大，可布置阶梯作业，满足不同学生的需求。

三、返校复学后提高在线教学实效性的策略

返校复学后逐渐恢复线下面授，但在线教学仍是教学的重要组成部分。因此，教师和学校需要继续注重提高在线教学的实效性[3]。

（一）学校要引导教师提高自身的信息化素养

学校可以多组织教师参加网络直播课教学能力培训。学校的教务处应与各个教学平台公司积极协调，充分利用中国大学慕课、学习通、超星、雨课堂、省级国家级在线教学平台等资源，建立在线教学工作交流群，安排专业工作人员为教师开展线上教学培训、技术交流、问题解答。邀请教师教学能力大赛获奖的教师传授在线教学经验，包括信息化的教学设计和教学实施，引导教师不断提升线上教学技能和水平。特别是强化在线教学应用研究，引导教师积极探索“互联网+教学”的实施方法，推进基于信息技术条件下的混合式教学模式创新行动研究。完善教学能力建设标准，结合教师发展层面的诊改，进一步完善教师教学能力建设标准，促进教师队伍专业化和信息化建设。将教师的信息化教学能力培养放在重要的位置，可在职称评聘或者教师考评中加入信息化教学能力的要求，提高教师参与信息化教学的积极性。不定期举行信息化教学能力比赛，鼓励教师在日常教学中合理使用信息化技术，不断提升在线教学的能力，提高整体教学效果。

（二）教师要注重合理开发与应用线上资源

在疫情期间，大多数学生家中没有与课程配套的纸质教材，教师利用已有的各级在线开放平台或者临阵整理课件、微视频、导学案等，为学生合理设计与开发线上学习资源。此次疫情给了我们一个启发，教师在平时准备教学资源时，应该在应用纸质版教材的同时，注重音频、视频、图片等教学素材的搜集与应用，基于学生专业的不同、学习基础的不同及未来职业发展方向的不同，打破原有的学科知识结构，按照结构化课程、颗粒化资源、系统化设计的思路，建设学科教学资源库。以应用数学课程为例，针对多元化的生源，通过对专业课老师的深度访谈，对高职学生数学基础的问卷调查，以及笔者寒暑假在企业实践中所做的调研等，笔者认为，本课程应以市场需求为导向，以应用为主旨，以提升学生的综合素养为目的，将原来的知识体系分为一元微积分基础通识必选模块，多元函数微积分、矩阵、微分方程、概率论与数理统计、级数等专业拓展选修模块。以专业相关的案例为载体或为任务驱动，有机融入中华优秀传统文化、专业精神、职业精神、工匠精神、劳模精神及数学史、数学故事等，系统化开发微课、视频、动画、PPT、文本等颗粒化资源，并建设分层分类试题库。积极参与职教云、省在线开放课程共享平台、学习通、中国大学慕课、国家级职业教育精品在线开放课程等网络资源库建设，并重视云班课、雨课堂等手机端的建设。

四、结语

学生课前通过线上资源实现自主学习，教师根据学习情况准备教学，以学定教;课中利用课堂展开交流研讨并线上实时测验、头脑风暴等，实现学习的内化;课后根据平台上学生各个环节的参与度[2]和小组评价及自评等，科学评价学生的学习;借助线上平台及QQ、微信、b站等学生喜爱的软件，有针对性地与学生交流，解决学生的学习困难，同时，学生之间也在线上讨论交流，小组合作完成小组作业，实现线上线下校内课内课外混合式教学。特别注意的是，教师要帮助、鼓励学生努力培养自学意识，养成良好的学习习惯，提高学习兴趣，增强自学的原动力，多举措提高教学的实效性。

参考文献：

[1] 王珏.在线教学中，如何有效调动学生思维[EB/OL].（2020-03-23）[2020-07-01]. http：//www.360doc.com/content/20/0323/20/30898787_901223708.shtml.

[2] 罗晓英.以学定教，教学相长：基于UMU互动学习平台下的混合式学习[J]. 福建基础教育研究，2020（01）：133-135.

[3] 邓嘉琪. 疫情防控期间高职院校线上教学工作策略研究[J]. 成才之路，2020（15）：10-11.

（责任编辑：王义）

思维教学概率统计论文范文第4篇

概率论与数理统计是一门有着广泛应用的数学学科, 因此, 在教学中我们应准确把握这门课与学生所学专业的结合点, 突出其应用性。在概率论与数理统计的教学中, 很多高校教师文理科概率论与数理统计课程同时教, 这就涉及到课程实例的选择问题。在教学中应结合学生的专业知识, 调整教学实例。对文理科的实例分别对待, 因为它们涉及到一些专业术语的问题。在讲授过程中, 将统计理论与实际问题相结合, 培养学生用所学的知识去解决具体实际问题的能力及理论联系实际的作风, 从而使学生进一步深化理解统计中的基本概念和基本原理。

1 强调灵活多样的课堂教学方法

概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程都有本质的不同, 因此, 其基本概念的引入就显得更为重要。由于课堂教学是教师传授知识的主要途径, 为此教师在课程讲授时, 不但强调经典理论, 更注重传授数学的思维方法, 培养学生分析问题、解决问题的能力。注重启发式教学, 提高学生学习的积极性与主动精神, 引导学生积极思维。例如, 在讲“条件概率”时, 首先通过摸球试验的例子, 从直观上认识条件概率, 理解引进条件概率的必要。其次, 通过对古典概型样本空间结构的分析, 理解用缩减样本空间法得到条件概率的思路, 从直观上引进条件概率的定义。第三通过考察条件概率是否满足概率的三条基本性质, 说明条件概率仍是概率, 它仍然是用来描述事件发生的可能性的。

按照循序渐近原则、直观性原则安排教学内容, 注意基础课程与概率统计课的衔接, 本课程各内容间的衔接。例如, 古典概率中有许多难于理解的概念, 多数习题涉及排列组合知识, 教师在讲授时注意复习排列组合知识, 特别补充了重点内容允许有重复的排列。分布函数是难以理解的概念之一, 特别是离散型随机变量分布函数的求法。为了帮助学生学习, 教师们采用比喻、画图等直观方法讲课, 减小了学习概率统计的难度。随机事件的互斥、对立与相互独立是概率统计中的重点概念, 初学者易混淆, 以致在做题时出现原则性错误。为了使学生彻底搞清楚这三个概念, 教师们除了从定义上讲清它们的区别外, 还举出射击打靶和随机重复取数问题作为例子来说明。通过实例分析使学生既搞清了这些概念, 又掌握了这类习题的解法。有些学生能做到一题多解, 灵活性较大。

2 与实际结合, 激发学生对概率统计课程的兴趣

在概率统计中, 许多的概率模型让学生望而生畏, 学生常常记不住公式, 更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象, 因此, 在课堂教学中, 必须坚持理论联系实际的原则来开展, 将概念和模型再回归到实际背景。例如:二项分布的直观背景为n重贝努里试验, 由此直观再利用概率与频率的关系, 我们易知二项分布的最可能值及数学期望等, 这样易于学生理解, 更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型, 引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题, 向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用, 突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲;将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲;将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲, 使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣, 理解各数学模型, 并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。

3 信息技术手段的应用 (网上作业)

为进一步丰富、拓广概率论与数理统计课程知识, 激发学生的求知欲及创新欲以使他们在学习上变被动为主动.教师要介绍这门课程及相关领域的基本情况、教学信息、科研信息, 为不同层次的学生布置不同网上作业, 记录成绩, 作为考核的一个指标。

4 统一考题, 统一评卷的教改举措

为了使考试成绩能全面反映学生对知识的掌握情况并起到促进学习的目的, 多年来, 我们加强考核的“过程”管理, 改变考试的记分方式, 采取考试成绩与平时考核成绩综合的方法 (平时考核成绩占20%) , 根据不同专业的课时安排, 考试统一考题, 统一评卷, 其目的是为了统一考核, 分析各班的教学和学习情况。这种综合评分方式收到了良好的效果。教学方式和考试方式的改革使学生的学习潜力得到了充分发挥学习的自觉性、积极性都有了明显提高。

摘要：概率论和数理统计的思想方法已经渗透到自然科学和社会科学的许多领域, 应用范围相当广泛, 其理论和方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中。但对学习者来讲, 常常感到概率论的基本概念难懂。本文从概率论与数理统计的教学方法入手, 提出我们的几点做法来一起探讨。

关键词：概率论,数理统计,教学方法

参考文献

[1] 盛骤, 等.概率论与数理统计 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2] 概率论与数理统计[M].北京:科学出版社, 2007.

[3] 孙荣恒.应用数理统计 (第二版) [M].北京:科学出版社, 2003.

思维教学概率统计论文范文第5篇

关键词：概率统计;数学思想;教学

数学思想是数学的灵魂，是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中并经过人们的思维活动产生的，是人们对数学知识和数学方法的本质认识。概率统计是数学一个富有特色的分支，在概率统计的内容中同样蕴涵着丰富的数学思想，为人们正确处理现实数据信息、揭示事物现象的变化规律、提高分析问题和解决问题的能力提供了强有力的工具。因此，数学思想的教学研究对学科本身的发展和教学效果的改善具有重要的理论和现实意义，受到许多学者的青睐。本文拟对近年我国学者对概率统计数学思想的教学研究成果和研究状况进行综述。

一、概率论的思想史

对概率论思想史的教学研究文献较少。黄海平(1999)主张，在教学中适当介绍概率论的历史和数学思想史，不但能使学生感受到数学思想的巨大价值，还可以激发他们学习概率统计的兴趣。石莹(2002)提出，数学思想方法是对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，其发展史是教学中不容忽视的环节。

二、随机思想和偶然与必然的思想

随机思想和统计思想是概率统计中特有的数学思想。魏孝章和姜根明(2003)指出，随机思想是概率论的核心思想，是从个别偶然的现象发展到这种偶然现象所表现出的一种内在的必然规律。研究随机现象就是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这就是偶然与必然的思想。石莹(2002)指出，在讲授概率统计时要注重公理化思想、模型思想、依概率收敛、统计推断等典型思想方法，同时分析偶然与必然的关系，对学生进行辩证思想方法的教学。

三、公理化思想

公理化思想就是从尽可能少的无定义的原始概念和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用逻辑推理法则建立数学的演绎系统。到20世纪，柯尔莫哥洛夫学派建立了概率的公理化结构，概率论因此成为严谨的数学分支。

石莹(2002)建议，在教学中可侧重于讲解公理化思想方法对于概率统计理论形成的重要意义，让学生在严格的公理体系中认知定义、公式及定理，学会运用规范化的数学语言解决概率统计中的问题。张瑾和王永红(2005)通过分析概率的公理化定义，说明了联系紧密、内在结构系统的公理化知识体系，并用结构主义的观点说明了各部分基础知识的结构特征。

四、统计思想

统计思想是统计学中的精华，是统计方法的灵魂，包括统计调查思想、统计描述思想、统计推断思想等。

章朝庆(2001)指出，概率统计教学要与人才培养目标相适应，并给出在教学中渗透数学思想的一些方法，例如：引导学习，体现方法;结合概念和定理讲授概率统计方法;联系实际，学习综合运用概率统计方法。

倪中新和陈敏(2004)提出，在教学中要注重讲授概率统计的思想和背景，比如，各种概型、概率分布的应用背景，随机变量的数字特征的物理意义，参数估计、假设检验的哲学背景;同时指出，统计思想的教学还应结合统计软件等现代教育技术。

张驰(2006)认为，要特别重视对统计思想的教学，在概率论教学中穿插、渗透统计思想，在统计学教学中通过将统计思想经典语句化来加强统计思想的教学。

统计推断思想是贯穿于数理统计研究始终的思想方法，是利用研究对象总体的随机子样的统计数据对总体或总体间性质作出估计、推测的一种数学思想。假设检验、区间估计、方差分析、回归分析等方法体现了统计推断思想。石莹(2002)给出了在教学中讲授统计推断思想的一些建议：介绍统计推断的基本模式，阐明其在方法论中的价值，阐述统计推断的现实意义。

五、数形结合思想

数形结合的思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化、几何问题代数化，从而使问题简单化、熟悉化。张瑾和王永红(2005)给出了概率统计中数形结合思想常用的一些方面。例如：用文氏图分析揭示事件的互不相容、独立、互逆等关系;画出完备事件组的示意图，有助于学生对全概率公式和贝叶斯公式的理解和应用;几何概型中，利用线段、平面、空间图形的长度、面积和体积计算事件的概率。舒元生(2005)基于正态分布曲线的对称性、增减性、渐近性并结合实例说明了数形结合思想的应用。

六、分类讨论思想

当问题含有多种可能，人们难以对它进行统一处理时，就只能按其出现的各种情况分类进行讨论，分别得出与各类情况相对应的结论，综合这些结论便得到原来问题的答案。这种分析问题、解决问题的思想就是分类讨论思想。概率统计中的许多内容都体现了分类讨论思想，它们分布在概念、定理的证明、运算法则和具体问题的解决中。

黄海平(1999)主张在教学中渗透分类讨论思想，培养学生的逻辑思维能力，并特别指出复习是渗透分类思想的最佳时机。

七、化归思想或等价转化思想

把有待解决或未解决的对象，通过转化过程归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得原问题的解决，就是化归转换的思想方法。

在概率统计中能用化归思想解决的问题较多。黄海平(1999)主张在教学中要挖掘化归思想，强化学生的辩证思维能力。舒元生(2005)通过实例介绍了运用对立事件、等价命题、标准正态总体、排除法和已知的定理公式结论等进行等价转换的思想方法。

八、函数与方程思想

函数思想是指要用运动变化的观点分析、研究具体问题中的数量关系，通过利用函数的概念和性质去分析问题并加以研究，最终解决问题。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解，有时还需实现函数与方程的互相转化、接轨，最终达到解决问题的目的。

九、模型思想

一切数学概念、公式、理论体系以及由数学概念与符号刻画出来的某个系统中的关系结构都可成为数学模型。数学模型有广义解释和狭义解释。按广义解释，凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、定理、公式等都叫数学模型，如古典概型、几何概型、二项概型、条件概率、随机变量、期望和方差等。按狭义解释，只有那种反映特定的具体实体内在规律性的数学结构才成为数学模型，如概率中的摸球问题、掷分币问题、分房问题、次品问题、蒲丰投针问题等。

模型思想就是构造模型、使用模型的思想方法。魏孝章和姜根明(2003)通过实例说明，概率建模思想既可以处理随机问题，也可以处理一些非随机问题。黄海平(1999)主张要在教学中提炼模型思想，以培养学生解决问题的能力。韦程东等(2008)主张要在概率统计教学中融入数学建模思想的内容，引入讨论与讲授相结合、启发式、案例分析和现代教育技术等数学建模思想的方法，在课后作业中融入数学建模思想，以培养学生数学建模的能力。高岩(2008)建议将数学建模思想贯穿于整个教学过程，以培养学生的创造性思维能力和合作意识，促进知识向应用的转化;还介绍了将数学建模思想融入概率统计教学中的方法和原则。石莹(2002)认为，在概率统计教学中，一方面要使学生了解典型模型的构造规律，在解题教学和练习中学会正确使用模型;另一方面要揭示模型之间的联系，区别易混淆的模型。李晓毅和徐兆棣(2008)探讨了在概率统计教学中数学建模思想形成和建立的途径，对概率统计课程的教学从教学内容、教学实例、教学手段、教学模式等方面进行分析，阐明了在概率统计教学中融入数学建模思想是促使学生学好概率统计课程的有效途径。

十、其他数学思想

1.集合与映射思想

随机事件、样本空间等概率论中的基本概念其实质就是集合，而在概率的公理化定义中则将“概率”定义为事件域F(集合)到实数区间[0，1]的一个映射。随机变量的定义也是从样本空间(集合)到实数域R建立的一个映射。李光平和刘洪(2004)从解释古典概率、把握事件之间的关系、计算事件的概率三个方面介绍了在教学中渗透集合观点的具体做法。

2.整体思想

整体思想就是把考虑的对象作为一个整体对待，而且这个整体是各要素按一定规律组合成的有机统一体。

3.求补思想

对于直接求解较困难或较复杂的问题，可考虑先求它的补集，这种在顺向思维受阻后改用逆向思维的思想就是数学中的求补思想。王卫华(2006)针对2005年高考概率题目说明了补集思想的应用。

综上可知，国内概率统计数学思想的教学研究集中于思想的内涵、作用与功能、方法与技巧，取得了较为丰富的成果。

参考文献：

[1]黄海平.浅谈概率统计教学中数学思想方法的运用[J].广西教育学院学报,1999,(4).

[2]石莹.概率统计与数学思想方法教学[J].天津市财贸管理干部学院学报,2002,(2).

[3]魏孝章,姜根明.概率统计中的数学思想[J].陕西教育学院学报,2003,(1).

[4]张瑾,王永红.概率统计课程中的数学思想方法研究[J].成都教育学院学报,2005,(9).

[5]章朝庆.概率统计思想方法对高职人才素质形成的作用与意义[J].南通职业大学学报,2001,(3).

[6]倪中新,陈敏.注重统计思想的现代工科概率统计教学方法[J].大学数学,2004,(2).

[7]张驰.概率统计课程应重视统计和统计思想的教学[J].高等教育研究,2006,(3).

[8]王卫华.2005年高考概率题中的数学思想[J].数学教学研究,2006,(5).

[9]舒元生.在概率与统计的教学中如何渗透中学数学思想方法[J].中学数学研究,2005,(7).

[10]韦程东,唐君兰,陈志强.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛,2008,(2).

[11]高岩.在概率统计教学中融入建模思想[J].江西行政学院学报,2008,(S2).

[12]李晓毅,徐兆棣.概率统计教学与数学建模思想的融入[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2008,(2).

[13]李光平,刘洪.概率统计教学中应渗透集合的观点[J].数学教学通讯,2004,(9).

责编：一木

思维教学概率统计论文范文第6篇

摘要：分析了在随机变量的数字特征的定义教学中存在的常见问题，就数学期望和相关系数的定义教学提出建议;探讨了在随机变量的独立性和不相关性常常发生混淆的主要原因，并给出对应的教学策略.

关键词：数学期望;协方差;相关系数;相互独立;不相关

概率统计是理工类和经管类本科专业的一门重要的学科基础课程，其中涉及的解决随机问题的基本思想方法被广泛应用于经济决策、质量控制、投资风险管理等领域.根据教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会发布的大学数学课程教学基本要求[1]，在本科概率统计课程中应使学生掌握课程的基本知识、基本理论，对学生进行必要的基本运算技能的训练，为学生学习相关后继课程奠定必要的随机量方面的数学基础，培养学生综合运用所学知识分析和解决问题的能力.但在本科概率统计课程的教学中还存在不少认识上的误区，以下结合笔者的教学实践谈几点体会.

1 概率统计课程的基础和课程目标分析

1.1 初等数学中的概率统计内容分析

概率统计是高中数学教学内容的重要组成部分，从高考数学大纲给出的教学内容和考试要求，并结合近年高考数学的试题可以看出中学数学的概率统计课程的下列教学侧重点：

（1）用排列组合工具计算有限等可能实验中随机事件的概率.

（2）理解并会应用特殊条件下的概率加法公式和乘法公式计算随机事件的概率，其中的特殊是指：仅考虑互斥情形的加法公式和相互独立的乘法公式.

（3）理解并掌握n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率计算.

（4）理解离散型随机变量分布列的意义，会基于古典概率的计算方法求出某些简单离散型随机变量（有限取值）的分布列.

（5）理解随机变量的期望值和方差的意义，会计算有限取值的离散型随机变量的数学期望和方差.

仅从教学内容上看高中概率统计课程，其基本方法是初等的，难点主要在于古典概率中排列组合等计数方法的应用，但这并非概率统计课程真正关注的问题.

1.2 本科概率统计课程的内容和研究工具

在前述的大学数学课程的本科教学基本要求中，对公共概率统计课程的概率论部分提出的基本要求包括（但不限于）：

（1）了解概率的公理化定义，掌握概率的性质.

（2）了解随机变量分布函数的概念和性质，会利用分布函数计算随机事件的概率.

（3）理解离散型随机变量及其分布律的概念和性质，理解连续型随机变量及其概率密度的概念和性质，理解常见的离散型分布（包括0-1分布、二项分布、泊松分布）和连续型分布（包括均匀分布、指数分布、正态分布）.

（4）了解多维随机变量联合分布函数的概念和性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律的概念和性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度的概念和性质，会计算多维随机变量的边缘分布，理解随机变量的独立性;

（5）理解随机变量的数字特征（包括数学期望、方差、协方差、相关系数、矩）的概念和性质，会计算上述常见分布的数字特征.

（6）了解大数定律与概率的统計定义及参数估计之间的关系，了解中心极限定理的意义及其在实际问题中的应用.

从上述教学基本要求可以看到，在大学本科的概率统计课程的主旨是：借助于高等数学工具研究随机现象，其核心方法包括：利用函数方法将随机事件的概率计算用分布函数统一解决，利用无穷级数理论将离散型随机变量的研究推广到取值为无穷可列的情形，利用积分理论研究连续型随机变量，利用极限理论研究随机变量序列的依概率收敛等问题.

虽然概率统计课程中的部分知识学生在中学有所接触，但本科课程在这些问题上所要求的深度和广度是中学课程无法比拟的.因此，将中学概率统计课程中作为特例出现的基本概念和性质推广到更一般情形就成为本科概率统计课程教学的一项基本任务，其中应在课程中重点强调微积分工具和方法的应用.当然，作为随机数学基础的本科概率统计的课程目标，不仅应当提升学生对课程基本概念和方法的认识，还应在课程中对学生进行必要的基本运算技能的训练，为学生学习诸如随机过程等随机数学的进阶内容提供必要的基础支撑.

2 数学期望定义教学中的缺憾和建议

数学定义是展开对该数学对象讨论的前提和出发点，因此教学中对数学定义的内涵和外延的解读是极为重要的.然而，在当前的概率统计课程的教学中，或因为受限于课程学时，或因为备课不充分，授课教师对数学期望定义的解读常常是不够的，现详述如下.

在中学的概率统计课程中，学生已经会计算取值有限的离散型随机变量的数学期望，但在更一般的情形下，离散型随机变量的数学期望是用如下方式给出的.

与中学在有限取值情形下将离散型随机变量的数学期望定义为随机变量的取值与其对应的概率乘积之和不同，上述定义中增加了级数绝对收敛的前提.在随机变量取值可列的情形下，要保证其数学期望的存在性，学生容易想到级数xkpk收敛的前提，但为什么对其收敛性要求提高到更高水平的绝对收敛？颇为遗憾的是在诸如教材[2]这样被广泛使用的经典教材中，对此问题也未进行任何解释和说明，如果教学中不进行必要的引导，就会为学生正确理解和把握数学期望定义造成障碍，由此引发对其他数字特征理解上的偏差.

在笔者看来，数学期望的教学是数字特征教学中最为重要的部分，因为本质上随机变量的其他数字特征不过就是特定函数随机变量的数学期望.因此，在数学期望定义的教学中，以下教学环节是不可或缺的：

首先，应当对级数绝对收敛前提做必要的解读.事实上，数学期望的概率论意义在于刻画随机变量取值的集中位置，其值自然不应受到随机变量取值排序的主观性影响.由于条件收敛级数在更序后可能改变和[3]，甚至改变其敛散性[4]，而绝对收敛级数则可保证对级数任意重排时其和不变，因此在离散型随机变量的数学期望定义中必须设定级数xkpk绝对收敛这一前提.类似可以解释在连续型随机变量的数学期望定义中对积分xf（x）dx做出绝对收敛要求的意义.

其次，应分别就离散型变量和连续型变量给出数学期望不存在的实例，以提高学生对数学期望存在前提的认识.例如：对分布律为发散，因此其数学期望不存在.

有了这样的教学环节，学生自然就能理解不论对于离散型变量还是连续型变量其数学期望均未必存在.从而在极限定理的教学中，学生也就容易理解定理条件中强调随机变量序列数学期望存在性的意义.

3 协方差和相关系数定义教学中的常见问题

协方差和相关系数均为刻画随机变量X，Y之间线性相依关系强弱的数字特征.教材[2]中利用两随机变量和的方差公式

并依据X，Y相互独立时，有E[（X-E（X））（Y-E（Y））]=0的这一事实，据此指出：当（X-EX）（Y-EY）≠0时，X，Y之间必定不独立而是存在一定联系，从而给出下述定义.

上述引入协方差的教学设计，内容衔接自然流畅值得肯定.但教材中随即直接给出相关系数定义的处理方式却颇让人费解.为什么有协方差还要引入相关系数，二者有何区别？这些问题在该教材中均未提及！由于教材[2]是国内应用最广的概率统计教材之一，这种做法可能被初登讲台的青年教师直接采用，从而为学生正确理解协方差和相关系数形成障碍.

笔者认为，在引入协方差后，一种较自然的处理应该是讨论协方差的相应性质.在性质的讨论中揭示：协方差是有量纲的量，其值受X，Y自身的量纲影响.为克服这一缺陷，考虑先对X，Y进行标准化，即令由于标准化过程消除了X，Y自身的量纲，对标准化变量X*，Y*定义协方差就克服了其值受量纲影响的缺陷，因此可以用Cov（X*，Y*）这个无量纲量的数值大小来刻画X，Y之间的关系，由此引出相关系数的下述定义：

4 不相关性和独立性教学中的常见问题

随机变量的独立性和不相关性是概率统计教学中极易引起学生混淆的两个概念.随机变量相互独立表明二者之间没有关系，其特征是联合分布等于边缘分布的乘积.而随机变量的不相关是指二者不存在线性关系，其特征是相关系数（或协方差）为零.

二者的关系，无论从直观概念还是数学定义本身都容易做出区分，即相互独立必然不相关，但不相关未必相互独立.而造成学生引起混淆的主要原因，常常在于下述教学环节处理的失当.

4.1 在给出随机变量不相关的定义时，未及时给出不相关但并非相互独立的实例.筆者认为，在给出容易引发混淆的新概念时，与原有概念的对比是极其重要的.因此，在给出相关系数的定义时，应当用最简单的实例明确不相关和相互独立的区别.

4.2 二维正态分布的独立性与不相关性等价的原因未做深入解读.二维正态分布是一种常见的连续型分布，其独立性和不相关性的关系是极其特殊的，即由于二维正态分布的联合概率密度形式较复杂，以此作为基础计算边缘密度和数字特征对积分的能力有一定要求，因此很多教师对此重要命题的教学往往采取述而不证的方式，这就为学生的理解这一结论形成了不小的障碍.

笔者认为，正态随机变量在概率统计中有着举足轻重的作用，在学时充分的条件下，应当考虑对其性质进行严格的刻画，这也是课程中培养学生必要的基本运算技能的良好素材.即使受限于学时，也必须明确：

4.3 对公式E（XY）=E（X）·E（Y）成立的条件未进行适时的正确解读.作为数学期望的一条重要性质，该公式通常在数学期望的性质中首次亮相，此时其结论被表述为[2]：

利用相互独立确保的联合分布等于边缘分布乘积的条件，其结论是容易得到的.但教学中应明确：X，Y相互独立条件是E（XY）=E（X）·E（Y）成立的充分条件.在引入X，Y不相关的定义后，应适时指出E（XY）=E（X）·E（Y）可以在更弱的条件下成立，并引导学生得出下述与X，Y不相关等价的命题：

参考文献：

〔1〕教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会.大学数学课程教学基本要求（2014年版）[M].北京：高等教育出版社，2015.10-13.

〔2〕盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.109-133.

〔3〕唐建国.一个条件收敛级数重排项后的和[J].大学数学，2011，27（06）：130-134.

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