二次方程范文

二次方程范文（精选12篇）

二次方程 第1篇

性质1:一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1、x2, 则两根均为负根的充要条件是

性质2:一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1、x2, 则两根为一正一负的充要条件是af (0) <0.

性质3:一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1、x2, 则两根均为正根的充要条件是

例1:已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根, 一个根小于1, 另一个根大于1, 求k的取值范围.

解:设f (x) =2kx2-2x-3k-2, 画出y=f (x) 图像, 则f (x) 与x轴交点一个在1的左侧, 一个在1的右侧, 如下图.

则满足题意的充要条件是2kf (1) <0,

即2k (2k-2-3k-2) <0, 解得:k<-4或k>0,

实数k的取值范围是k<-4或k>0.

性质4:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2, 则x1

第20课时二元二次方程组1 第2篇

（一）教学目标：

1、使学生了解二元二次方程概念、二元二次方程的一般形式、二元二次方程组的概念；使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．

2、通过二元二次方程及二元二次方程组的定义的教学，提高学生判断能力；

3、通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的教学思想，从而提高分析问题和解决问题的能力． 教学重点：

了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组． 教学难点：

理解解二元二次方程组的基本思想． 教学过程：

由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例，通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解；在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次．

由于学生已经学过二元一次方程及二元一次方程组的概念，所以通过具体的二元二次方程及二元二次方程组，让学生进行分析和比较，得出二元二次方程的定义及常见的二元二次方程组的判别方法，使学生容易接受和理解新的知识．

关于本节课学习的用消元法解二元二次方程组，用消元法解方程组对学生来说并不陌生，学生在学习二元一次方程组的解法时，就是用消元法来解的．因此在进行本节教学时，通过教师的启发引导，学生分析二元二次方程组的特点，探求消元的方法．从而从整体上看学生在课堂上讨论热烈，能调动学生学习的积极性，激发学生的学习情趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．

一、新课引入：

（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？（3）解二元一次方程组有哪几种方法？

问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．

二、新课讲解：

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容．

（1）二元二次方程及二元二次方程组

22观察方程x＋2xy＋y＋x＋y＝6，此方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2．

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．

22二元二次方程的一般形式是：ax+bxy+cy+dx+ey+f＝0（a、b、c不同22时为零）．其中ax、bxy、cy叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项．

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及由两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组．例如：

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解．

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法．

例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得y＝2x-1再代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解．

解：由②，得 y＝2x-1 ③

把③代入①，整理，得 215x-23x＋8＝0． 解这个方程，得

把x1＝1代入③，得y1＝1；

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生完成解题过程．

巩固练习：

教材 P．64中1、2．

三、课堂小结：

关于本节的小结，教师引导学生共同总结．

本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解．

学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式． 2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程．

3．解一元二次方程或一元一次方程．

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数． 5．写出方程组的解．

四、作业

“一元二次方程”测试卷 第3篇

A. x2-2x+2=0 B. x2+2x+2=0

C. （x-3）（x+4）=0 D. （x-1）2+4=0

2. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）.

A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18

3. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米. 若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）.

A. x（5+x）=6 B. x（5-x）=6 C. x（10-x）=6 D. x（10-2x）=6

4. 将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（ ）.

A. （x-3）2+11 B. （x+3）2-7 C. （x+3）2-11 D. （x+2）2+4

5. 一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=______.

6. 若（x2+y2+1）（x2+y2-3）=5，则x2+y2=______.

7. 已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是______.

8. 已知关于x的方程（k-1）x2+2kx+k=0有实根，求k的取值范围.

9. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根.

（1） 求实数m的最大整数值；

（2） 在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x2 1+x2 2-x1x2的值.

10. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1） 用含x的代数式表示第3年的可变成本为______万元.

（2） 如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

11. 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元. 按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元. 请问她购买了多少件这种服装？

12. 如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1） 请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC-AA1=-0.4=2，

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B2 1得方程_________________________，

解方程得x1=______，x2=______，

∴点B将向外移动______米.

（2） 解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？

【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题.

13. 某商场销售一批衬衫，平均每天可出售50件，每件盈利10元. 为了增加盈利，商场决定采取适当的涨价措施. 经调查发现，每件衬衫每涨价1元，商场平均每天就要少售出2件. 若商场平均每天要保证盈利600元，同时又要使顾客得到实惠，请你帮商场算一算，每件衬衫应涨价多少元？

参考答案

1. C A. b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4<0，方程没有实数根，所以A选项错误；B. b2-4ac=22-4×1×2=-4<0，方程没有实数根，所以B选项错误；C. x-3=0或x+4=0，则x1=3，x2= -4，所以C选项正确；D. （x-1）2=-4，方程左边为非负数，方程右边为负数，所以方程没有实数根，所以D选项错误. 故选C.

2. B 分两种情况：①当其他两条边中有一条为3时，将x=3代入原方程，得32-12×3+k=0，k=27，将k=27代入原方程，得x2-12x+27=0，解得x=3或9. 3，3，9不能够组成三角形；②当3为底时，则其他两条边相等，即b2-4ac=0，此时144-4k=0，k=36. 将k=36代入原方程，得x2-12x+36=0，解得x=6. 3，6，6能够组成三角形，故答案为B.

3. B 设一边长为x米，则另外一边长为（5-x）米，由题意得：x（5-x）=6，故选B.

4. B x2+6x+2=x2+6x+9-9+2=（x+3）2-7，故选B.

5. ∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，∴把x=0代入得a2-1=0，且a+1≠0，∴a=1.

6. 解：令x2+y2=z，则原方程可转化为（z+1）（z-3）=5，解得z1=4，z2=-2，因为x2+y2的非负性，所以应舍去x2+y2=-2. 所以x2+y2=4.

7. 解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=-1，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（-1）2=1.

8. 解：（1） 若方程为一元二次方程，则k-1≠0，

（2k）2-4k（k-1）≥0，即k≠1，

4k2-4k2+4k≥0，∴k≥0且k≠1时，方程有实根.

（2） 若方程为一元一次方程，

当k-1=0，即k=1时，方程化为2x+1=0，∴x=-.

综上所述，当k≥0时，方程有实根.

9. 解：（1） 由题意，得：b2-4ac>0，即：

-22-4m>0，m<2，∴m的最大整数值为m=1.

（2） 把m=1代入关于x的一元二次方程x2-2x+m=0得x2-2x+1=0，根据根与系数的关系：x1+x2=2，x1x2=1，∴x2 1+x2 2-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2）2-3×1=5.

10. 解：（1） 2.6（1+x）2；

（2） 由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.

答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.

11. 解：设购买x件这种服装，由题意得：[80-2（x-10）]x=1 200，解得：x1=20，x2=30，

当x=30时，80-2（30-10）=40<50，不合题意，舍去.

答：她购买了20件这种服装.

12. 解：（1） （x+0.7）2+22=2.52；x1=0.8，x2=-2.2（舍）；0.8.

（2） [问题一]不会是0.9米，

若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4-0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，

∵1.52+1.62=4.81，而2.52=6.25 ，

∴B1C2+A1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米.

[问题二]有可能.

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米， 则有（x+0.7）2+（2.4-x）2=2.52，

解得：x=1.7或x=0（舍）.

∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

13. 设每件衬衫涨价a元，这样每件盈利（10+a）元，共售出（50-2a）件.

则（10+a）×（50-2a）=600.

解得a1=10，a2=5. 要使顾客得到实惠，则a=5，所以每件衬衫应涨价5元.

巧解二元二次方程组 第4篇

一、巧用代入法

代入法是解二元二次方程组最基本的方法, 但代入法也有其巧妙的地方.

分析由 (2) 提公因式发现 (1) 式的整体出现, 那么即可代入 (1) 式简化整个式子.

解由 (2) 得:x2 (x-y) +2x (x-y) +1=0. (3)

将 (1) 代入 (3) 式得:x2-2x+1=0, 即x=1.

由 (1) 式得y=0

注意本题关键是在 (2) 式中寻找“x-y”整体, 再采用代入法.

二、巧用消元法

消元法解二元二次方程组也是常选择的方法, 消元法包括消二次项、消常数项以及同时消二次项、二元项等, 需要我们根据题目选择最佳的方法.

分析观察题目可知二次项系数x, y不对应成比例, 可适当变形方程 (2) 为2x2-4y2+x2=-5.

解由 (1) 2- (2) , 得x2-2x+1=0, 即x=1.

解得

三、巧用换元法

在计算过程中合理利用换元法可以使复杂的方程简单化, 减轻计算量.

分析若直接用代入法或者消元法计算都比较复杂, 考虑换元.

注意可将值一一代入原方程检验.

四、巧用因式分解

因式分解是乘法公式的逆运算, 因式分解的特点之一是降次, 在解二元二次方程组时运用因式分解可以将方程化简.

分析 (2) 式是一个可分解的方程, 即可达到降次的目的.

解将 (2) 式化简为: (x-2y) (x-3y) =0.

五、巧用方程

=c+d

在解二元二次方程组的时候, 若遇到形如=c+d的等式 (c, d均为常数) , 根据等式的性质可令x=c或x=d, 求解x的值.

分析由 (2) 式得, 代入 (1) 即可得到类似x+=c+d的形式.

解由 (2) 知:x≠0且y=. (3)

将 (3) 代入 (1) 得:x2+=5.

注意关键是 (4) 式形如x+=c+d的转化.

六、巧用判别式

在解一元二次方程的根时, 用判别式判断一个方程是否有根, 在解较复杂二元二次方程组时可以借助方程有根的特点解方程.

分析要以判别式来求解, 需将 (1) 式变形为关于x的方程.

解即x2- (y+3) x+y2+3=0. (3)

由于x, y均为实数, 方程 (1) 有解,

所以Δ=[- (y+3) ]2-4 (y2+3) ≥0, 即 (y-1) 20.

而 (y-1) 2≥0, 所以 (y-1) 2=0, 则y=1.

将y=1代入 (3) 式:x2-4x+4=0, 即x=2.综上

注意

可将结果代入 (2) 式验证计算结果.

二次方程 第5篇

12.1 用公式解一元二次方程(一)

一、素质教育目标

(一)知识教学点：1.使学生了解一元二次方程及整式方程的意义;2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.

(二)能力训练点：1.通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力;2.通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

(三)德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识.

二、教学重点、难点

1.教学重点：一元二次方程的意义及一般形式.

2.教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的.小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程.学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力.

2.现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长?

教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题.

板书：“第十二章一元二次方程”.教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣.

(二)整体感知

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义;产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中.同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位.

(三)重点、难点的学习及目标完成过程

1.复习提问

(1)什么叫做方程?曾学过哪些方程?

(2)什么叫做一元一次方程?“元”和“次”的含义?

(3)什么叫做分式方程?

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫.

2.引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪?

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念.

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程.

一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的.一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”.“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础.一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的.这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断.

3.练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程?

(1)x(5x-2)=x(x+1)+4x2;

(2)7x2+6=2x(3x+1);

一元二次方程的教学心得 第6篇

[关键词]一元二次方程 学习 有效性

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2016）08-0011

在初中数学中一元二次方程是重点，是一个承上启下的关键环节，为高中的学习打好基。因此，在一元二次的教学中，要求教师能指导到位，有效地提高課堂效率，让学生学得轻松，教师教得愉快。

一、一元二次方程的重要性

一元二次方程的定义：方程中只有一个未知数，该未知数的最高次数是2。如：ax²+bx+c=0（a、b、c是已知数，a不等于0，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。）一元二次方程是一元一次方程的升级，学生在以往的一元一次方程学习中，解题方法较单一，到了二次方程后，解题方法就出现了多样性。比如，配方法，直接开平方法、公式法、因式分解法等等，这些方法都是学生必须掌握的基本函数技能，为以后能够学好高中的数学知识打下坚实的基础。

其二，在生活中常常会用到一元二次方程。生活中一元二次方程的使用极其广泛，比如在解决函数的问题时，在解决图形集合以及统计学时常常会用到一元二次方程。从这可看出一元二次方程在数学学习中的重要地位。

二、教学理念

1.数学教师授课要做到心中有数，知识的主次要分清，不能杂乱无章、泛泛而谈、无的放矢。教师的教案写得越详细越好，最好能做一些课件。在教学的过程中形成与学生交流的好习惯，并且重点问题能重点分析，尽量把课本上的知识生活化，培养学生解决实际数学问题的能力。

直面解一元二次方程问题 第7篇

解一元二次方程的方法很多, 具体有因式分解法[包括“十字相乘法即x2+ (p+q) x+pq= (x+p) (x+q) ”“提公因式法”“平方差公式”和“完全平方公式”]、公式法、配方法等等.

1.十字相乘法

例1 (2014年云南省, 第5题3分) 一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ()

A.x1=1, x2=2

B.x1=1, x2=﹣2

C.x1=﹣1, x2=﹣2

D.x1=﹣1, x2=2

解析:直接利用十字相乘法分解因式, 进而得出方程的根.

x2﹣x﹣2=0, 由十字相乘法的得到 (x﹣2) (x+1) =0,

解得:x1=﹣1, x2=2.

答案:D.

点拨:此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程, 正确分解因式是解题关键.

2.提取公因式法

例2一元二次方程2-x=x (x-2) 的解是 ()

A.x=1 B.x1=0, x2=1

C.x1=2, x2=-1 D.x1=2, x2=1

解析:将原式移项的x (x-2) + (x-2) =0, 提取公因式 (x-2) 得: (x-2) (x+1) =0, 解得:x=2, x=-1.

答案:C.

点拨:解答本题的关键是移项过程中的符号变换以及公因式的观察与提取.

3.公式法

例3 (2014?呼和浩特, 第15题3分) 已知m, n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根, 则m2﹣mn+3m+n=.

解析:根据m+n=-b/a=﹣2, m·n=﹣5, 直接求出m、n即可解题.

∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,

且一元二次方程的求根公式是

解得:, 或者, ,

将代入m2﹣mn+3m+n=8;

将代入m2﹣mn+3m+n=8;

答案:8.

点拨:此题主要考查了一元二次方程求根的计算公式, 根据题意得出m和n的值是解决问题的关键.

4.直接开平方法

例4 (2014·济宁, 第13题3分) 若一元二次方程ax2=b (ab>0) 的两个根分别是m+1与2m﹣4, 则b/a=_____.

解析:利用直接开平方法解答。

∴方程的两个根互为相反数,

∴m+1+2m﹣4=0, 解得m=1,

∴一元二次方程ax2=b (ab>0) 的两个根分别是2与﹣2,

答案:4.

点拨:本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或 (nx+m) 2=p (p≥0) 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式, 那么可得;如果方程能化成 (nx+m) 2=p (p≥0) 的形式, 那么.

5.配方法

例5 (2014·山东聊城) 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 此方程可变形为 ()

解析:首先进行移项, 然后把二次项系数化为1, 再进行配方, 方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方, 即可变形成左边是完全平方, 右边是常数的形式.

答案:C.

点拨:配方法的一般步骤:

(1) 把常数项移到等号的右边;

(2) 把二次项的系数化为1;

(3) 等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时, 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.

6.换元法

例6解方程 (x-1) 2-5 (x-1) +4=0时, 我们可以将x﹣1看成一个整体, 设x﹣1=y, 则原方程可化为y2﹣5y+4=0, 解得y1=1, y2=4.当y=1时, 即x﹣1=1, 解得x=2;当y=4时, 即x﹣1=4, 解得x=5, 所以原方程的解为:x1=2, x2=5.则利用这种方法求得方程 (2x+5) 2﹣4 (2x+5) +3=0的解为 ()

A.x1=1, x2=3 B.x1=﹣2, x2=3

C.x1=﹣3, x2=﹣1 D.x1=﹣1, x2=﹣2

解析:首先根据题意可以设y=2x+5, 方程可以变为y2-4y+3=0, 然后解关于y的一元二次方程, 接着就可以求出x.

(2x+5) 2﹣4 (2x+5) +3=0,

设y=2x+5,

方程可以变为y2﹣4y+3=0,

∴y1=1, y2=3,

当y=1时, 即2x+5=1, 解得x=﹣2;

当y=3时, 即2x+5=3, 解得x=﹣1,

所以原方程的解为:x1=﹣2, x2=﹣1.

答案:D.

曲线的方程和方程的曲线 第8篇

这个定义, 实质上是曲线C上的点的坐标与方程f (x, y) =0的解之间的一种一一对应关系。即:曲线上的所有点的坐标都是这个方程的解, 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 曲线和方程的统一必具有上述条件。建立了这个概念, 几何问题和代数问题就可以互相转化, 点与曲线的位置关系圳点的坐标与曲线方程的关系;曲线和曲线的位置关系圳两个曲线方程的关系, 即所组成的方程级的解的情况。曲线和方程是同一事物的两种不同表达形式, 即“形”与“数”之间的一种对应。曲线的性质反映在方程上, 因此, 可由方程来研究曲线的性质, 这恰为解析几何中解决问题的基本思想。

“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”, 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点, 也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外, 即曲线具有纯粹性;“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏, 即曲线具有完备性。

例1:“曲线C上的点的坐标满足方程f (x, y) =0”是正确的, 则下面命题中正确的是 () :A.f (x, y) =0表示的曲线是C、B.坐标f (x, y) =0满足的点都在曲线C上、C.曲线C的方程是f (x, y) =0、D.曲线C是f (x, y) =0表示的曲线的一部分。正确答案:D

例2:已知方程: (1) x-y=0, (2) 姨x-姨y=0, (3) x2-y2=0, (4) x/y=1, 其中能表示直角坐标系的第一、三象限角平分线C的方程的序号是 () 。

分析:根据曲线的方程的概念, 要验证其纯粹性与完备性, 即曲线上的点的坐标都是方程的解, 且以方程的解为坐标的点都在曲线上, 二者缺一不可。

解: (1) 正确, 因为一方面以方程的解为坐标的点都在曲线C上;另一方面, 曲线C上的点的坐标都是方程的解。所以, 方程是曲线C的方程。 (2) 不正确, 因为它不满足纯粹性, 例如, 点 (-1, -1) 在第三象限角平分线上, 但其坐标不满足方程。事实上, 方程表示的曲线是第一象限角平分线 (包括原点) 。 (3) 不正确。因为它不满足完备性, 例如点 (1, -1) 的坐标满足方程x2-y2=0。但它不在曲线C上。事实上, 方程x2-y2=0表示的曲线是第一、三象限角平分线和第二四象限角平分线。 (4) 不正确。因为它不满足完备性, 例如点 (0, 0) 在曲线C上, 但其坐标不满足方程x/y=1。事实上, 方程x/y=1表示的曲线仅比曲线C少了一个点原点 (0, 0) 。故正确答案为 (1) 。

三道题搞定“一元二次方程” 第9篇

在整式方程中, 只含有一个未知数, 并且含未知数项的最高次数是2, 这样的整式方程叫一元二次方程, 一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c=0 (a≠0) .

二、一元二次方程的解法

三、应用问题的等量关系

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组) 解应用题步骤一样, 即审、找、设、列、解、答六步.

1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组) 解应用题的步骤一样.

增长量

(2) 设a为原来量, 当m为平均增长率, n为增长次数, b为增长以后的量, 则有a (1+m) n=b;当m为平均下降率, n为下降次数, b为下降以后的量, 则有a (1-m) n=b.

3. 利润问题:

(1) 利润=售价-成本

四、根的判别式

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式为b2-4ac.

五、根与系数的关系

2. (简易形式) 若关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个根分别为x1、x2, 则x1+x2=-p, x1·x2=q.

第一道解方程.

(1) 用配方法解一元二次方程:2x2+1=3x;

第二道根的判别式和根与系数的综合题

关于x的一元二次方程x2+ (2k+1) x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1, x2.

(1) 求实数k的取值范围.

(2) 若方程两实根x1, x2满足|x1|+|x2|=x1·x2, 求k的值.

解: (1) ∵原方程有两个不相等的实数根.

第三道一元二次方程的应用

1.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤, 然后以每斤4元的价格出售, 每天可售出100斤, 通过调查发现, 这种水果每斤的售价每降低0.1元, 每天可多售出20斤, 为保证每天至少售出260斤, 张阿姨决定降价销售.

(1) 若将这种水果每斤的售价降低x元, 则每天的销售量是_____斤 (用含x的代数式表示) ;

(2) 销售这种水果要想每天盈利300元, 张阿姨需将每斤的售价降低多少元?

解: (1) 100+200x.

2.现代互联网技术的广泛应用, 催生了快递行业的高速发展, 据调查, 长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司, 今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件, 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

(1) 求该快递公司投递总件数的月平均增长率;

(2) 如果平均每人每月最多可投递0.6万件, 那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能, 请问至少需要增加几名业务员?

解: (1) 设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x, 根据题意得10 (1+x) 2=12.1, 解得x1=0.1, x2=-2.1 (不合题意舍去) .答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.

巧求方程与妙解方程 第10篇

一、巧求一类由解组合的方程

例1已知直线a1x+b1y+1=0与直线a2x+b2y+1=0的交点为 (2, 3) , 求过A (a1, b1) 和B (a2, b2) 的直线方程.

解由已知直线a1x+b1y+1=0与直线a2x+b2y+1=0的交点为 (2, 3) , 得

所以可以看成是A (a1, b1) 和B (a2, b2) 两点的坐标满足方程2x+3y+1=0, 所以过A (a1, b1) 和B (a2, b2) 两点的直线方程为2x+3y+1=1.

评注此题是巧妙利用解组合方程, 事半功倍.

例2已知圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=16, 过点P (5, 9) 作圆的两条切线, 切点为A, B, 求直线AB的方程.

解设A, B的坐标为 (x1, y1) 、 (x2, y2) , 可求过点A, B的切线方程分别为: (x1-2) (x-2) + (y1-3) (y-3) =16与 (x2-2) (x-2) + (y2-3) (y-3) =16, 且都过点P (5, 9) .

把 (1) 、 (2) 看成是点A, B满足方程3 (x-2) +6 (y-3) =16,

所以过点A, B的直线方程为3 (x-2) +6 (y-3) =16.

评注此题若按正常思路求解, 需求出A, B的坐标, 较为复杂, 但这里A, B满足相同的条件, 利用解组合方程, 实在高明.此题也可以先求出以圆心O与P为圆心的圆的方程, 直线AB看成是两圆的公共弦, 进而求之, 也较为简单, 不再解, 但以上解法更妙.

二、巧求一类方程的组合解

例3已知实数x, y满足等式: (1) x3-3x2+5x=1, (2) y3-3y2+5y=5.试求x+y的值.

解构造函数

f (x) =x3-3x2+5x= (x-1) 3+2 (x-1) +3,

则由题设知, 等式 (1) 、 (2) 的左边分别等于f (x) 和f (y) .

设g (y) =y3+2y, 容易证明g (y) 是奇函数, 且在R上为单调增函数.

由于g (x-1) =f (x) -3=-2, g (y-1) =f (y) -3=2,

所以g (x-1) =-g (x-1) =g (1-y) .

由g (x) 的单调性可知x-1=1-y, 所以x+y=2.

此题如果通过求各个方程的解来达到目的, 显然是十分困难的, 无法实现, 但是通过观察构造函数, 通过函数的性质求得结果则十分简捷.

例4已知方程x+2x=2 (1) 的根为x1, 方程x+log2x=2 (2) 的根为x2, 求x1+x2.

解方程 (1) 可化为2x=2-x, 它的根为函数y=2x与函数y=2-x的交点P的横坐标;

方程 (2) 可化为log2x=2-x, 它的解为函数y=log2x与函数y=2-x的交点Q的横坐标, 而直线y=2-x的图像关于直线y=x对称, 函数y=2x与函数y=log2x互为反函数, 它们的图像也关于直线y=x对称, 所以P, Q两点关于直线y=x对称.

又因为P, Q两点在直线y=2-x, 上所以x1+x2=2.

由例3和例4知, 如果单独解方程根本无法实现, 如果通过构造函数或者数形结合找出两个方程解的内在联系, 利用函数的性质或图形特征, 问题可迎刃而解.

一元二次方程错解例析 第11篇

例1解方程x2＋5x=3.

错解：∵ a=1，b=5,c=3,

∴ b2-4ac=52-4×1×3=13＞0.

∴ x= = = .

即x1= , x2= .

分析：用求根公式解一元二次方程的前提条件是化方程为一般形式.错解没有把方程化为一般形式，把c值弄错，这是我们在初学解一元二次方程时常犯的错误.

正解：移项，得x2+5x-3=0.

∴ a=1，b=5, c=-3.

∴ b2-4ac=52-4×1×(-3)=37＞0.

∴ x= = .

即x1= , x2= .

二、忽视一元二次方程中二次项系数a≠0

例2若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，求m的值.

错解：∵一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，

∴ 0满足原方程，故有(m-1)02+0+m2+2m-3=0.

即m2+2m-3=0.

解得m1=-3, m2=1.

故m的值是-3或1.

分析：在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中,应强调a≠0,否则方程就不是一元二次方程,错解正是忽视了这一点.

正解:∵一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,

∴ m2+2m-3=0且 m-1≠0.

解得m=-3.

故m的值是-3.

三、忽视一元二次方程“有根”的两种情况

例3若关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根,则k的取值范围是（ ）.

A.k＜ B.k≤C.k ＞ D.k≥

错解: A.

分析:方程有实数根,包含了两种情况，①方程有两个不相等的实数根,此时△＞0,由此得k＜ ；②方程有两个相等的实数根，此时△=0，由此得k= .综合①②得△≥0,所以k≤ .错解忽视了第②种情况.

正解: B.

四、忽视方程中相关项系数的特殊性

例4若关于x的方程x2- ·x-m=0 有不相等的实数根,试求m的取值范围.

错解：∵△=（ ）2+4m＞0，

∴ 2-m+4m＞0.

∴ m＞- .

分析：错解忽视了一次项x的系数的特殊性，因为它是一个二次根式，就必须考虑被开方数的非负性.

正解：∵△=（ ）2+4m＞0且2- m≥0,

∴ m＞- 且 m≤2.

故- ＜m≤2.

五、忽视使用根与系数的关系的前提条件: △≥0

例5已知α、β是关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0的两个实数根,且满足(α+1)(β+1)=m+1,求实数m的值.

错解:∵方程(m-1)x2-x+1=0是一元二次方程,

∴m-1≠0即m≠1.

又∵α、β是方程(m-1)x2-x+1=0的两个实数根,

∴由根与系数的关系可知 α+β= ， αβ= .

又∵(α+1)(β+1)=m+1，

即（α+β）+αβ+1=m+1，

∴+ =m.

解得m1=-1， m2=2.

故m的值是-1或2.

分析:出错的原因是忽略了方程有两个实数根的条件△≥0,没有得出m的取值范围.

正解:∵一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有两个实数根α、β，

∴ m-1≠0且△=(-1)2-4(m-1)≥0.

解得m≤ 且m≠1.

又∵α、β是方程(m-1)x2-x+1=0的两个实数根,

∴ 由根与系数的关系，得α+β= ， αβ= .

又∵(α+1)(β+1)=m+1，

∴ （α+β）+αβ+1=m+1.

∴+ =m.

解得m1=-1， m2=2.

又∵ m≤ 且m≠1,

∴ m2=2不合题意,舍去.

故m的值为-1.

六、忽视方程变形的基本原则

例6 解方程5（3x+2）2=3x（3x+2）.

错解：方程两边同时除以（3x+2），得5（3x+2）=3x.

整理，得15x+10=3x.

解得 x=- .

分析： 解方程的依据是等式的性质.当在两边同时除以3x+2时，没有考虑3x+2是否等于0，若3x+2=0，那么方程两边同除以0就违反了等式性质.故不能在方程两边除以含未知数的式子.

正解：原方程变形为5（3x+2）2-3x（3x+2）=0.

提公因式，得（3x+2）［5（3x+2）-3x］=0.

整理，得（3x+2）（12x+10）=0.

∴ 3x+2=0或12x+10=0.

解得x1=- ，x2=- .

中考中的一元二次方程 第12篇

考点一解一元二次方程

例1 (2014·浙江舟山)方程x2-3x=0的根为_________.

【考点】用因式分解法解一元二次方程.

【分析】根据所给方程的系数特点,可以对左边的多项式提取公因式,进行因式分解,然后解得原方程的解.

【解答】因式分解得x(x-3)=0,解得x1= 0,x2=3.

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法,当方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.

考点二一元二次方程解的概念

例2 (2014·江苏扬州)已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a211a-b+5的值为_________.

【考点】一元二次方程的解.

【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3, 则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+ 3)-11a-b+5,整理得2a2-2a+17,然后再把a2=a+3代入后合并即可.

故答案为23.

考点三一元二次方程根的判别式

例3 (2014·江苏扬州)已知关于x的方程有两个相等的实数根,求k的值.

【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.

【分析】根据根的判别式令Δ=0,建立关于k的方程,解方程即可.

【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:

1)(方程有两个不相等的实数根;

(2)方程有两个相等的实数根;

(3)方程没有实数根.

考点四利用一元二次方程解决实际问题

例4 (2014·贵州安顺)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,推出了如下收费标准 (如图所示):

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27 000元,请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游?

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用27 000元,确定旅游的人数的范围,然后根据每人的旅游费用×人数=总费用解题.设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游,由对话框可知,超过25人的人数为(x-25)人,每超过1人每人降低20元,共降低了20(x-25)元,实际每人收了[1 000-20(x25)]元,列出一元二次方程求解.

【解答】设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人,则人均费用为 [1 000-20(x-25)]元.

答:该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游.

【点评】此类题目贴近生活,有利于培养同学们应用数学解决生活中实际问题的能力.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系, 列出方程,再求解.特别提醒:求解后,要检验其解是否满足题意.

例5 (2013·江苏淮安)小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件, 小丽一次性购买这种服装付了1 200元.请问她购买了多少件这种服装?

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】根据一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,表示出每件服装的单价,进而得出一元二次方程,解出方程即可.

【解答】设购买了x件这种服装,

根据题意得:

答:她购买了20件这种服装.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,根据已知得出每件服装的单价是解题关键.特别提醒:求解后,要检验其解是否满足题意.