图像性质论文范文

图像性质论文范文（精选9篇）

图像性质论文 第1篇

一、性质

1. 定义域:从函数解析式可以看出其定义域为R.

2. 值域:由于对函数值y起决定地位的是ax3项, 所以其值域为R.

对f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 求导, 得f′ (x) =3ax2+2bx+c, 记Δ= (2b) 2-4 (3a) c=4b2-12ac.

3. 单调性:

(1) a>0.

(1) 当Δ0时, f′ (x) ≥0对x∈R恒成立, 函数的递增区间为 (-∞, +∞) ;

(2) 当Δ>0时, 方程f′ (x) =0有两个不等的实数根, 记为x1, x2, 不妨设x1

∴f (x) =ax3+bx2+cx+d的增区间为 (-∞, x1) , (x2, +∞) , 减区间为 (x1, x2) .

(2) a<0.

(1) 当Δ0时, f′ (x) 0对x∈R恒成立, 函数的递减区间为 (-∞, +∞) ;

(2) 当Δ>0时, 方程f′ (x) =0有两个不等的实数根, 记为x1, x2, 不妨设x1

∴f (x) =ax3+bx2+cx+d的增区间为 (x1, x2) ;减区间为 (-∞, x1) , (x2, +∞) .

4. 极值当:Δ0时, f′ (x) ≥0恒成立或f′ (x) 0恒成立, 函数f (x) 无极值, 当Δ>0时, 函数f (x) 取得极大值和极小值.

5. 对称性:函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的图像关于点对称. (证明略)

二、图像

三次函数y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的示意图如下:

1.a>0且Δ>02.a>0且Δ0

3.a<0且Δ>04.a<0且Δ0

注以上四个图像是利用作图工具几何画板作出的, 体现了在不同情况下的函数变化趋势, 由于三次函数图像的特殊性, 因而作者省略了坐标系.

二次函数图像性质及应用 第2篇

关键词：二次函数,抛物线,对称轴

二次函数虽然教材没有专门列为一章, 但二次函数的知识贯穿着高中数学的各个知识点中, 解析几何中相关问题都需要二次函数的知识点进行解答, 因此学好二次函数对高中数学这门课至关重要.二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c (a≠0) , 它是一条抛物线, 要掌握二次函数的知识点必须要掌握好些抛物线图像的性质.

一、二次函数抛物线的图像性质

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像可知二次函数是一条抛物线.

由图像可以归纳出二次函数图像性质如下:

1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地, 当b=0时, 抛物线的对称轴是y轴 (即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P, 坐标为.当时, P在y轴上;当Δ=b2-4ac=0时, P在x轴上.顶点坐标P决定的函数的最大值和最小值.当抛物线开口向上时, 函数有最小值, 当抛物线开口向下时函数有最大值.

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时, 抛物线开口向上;当a<0时, 抛物线开口向下.|a|越大, 则抛物线的开口越小.

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时 (即ab>0) , 对称轴在y轴左边;当a与b异号时 (即ab<0) , 对称轴在y轴右边.

5.常数项c决定抛物线与y轴的交点.抛物线与y轴交于 (0, c) .

6.抛物线与x轴交点个数.Δ=b2-4ac>0时, 抛物线与x轴有2个交点.Δ=b2-4ac=0时, 抛物线与x轴有1个交点.Δ=b2-4ac<0时, 抛物线与x轴没有交点.

二、二次函数图像性质的应用

1. 利用二次函数图像性质求最值

由二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的性质可知:当a>0时, 在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小, 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大, 当时函数y有最小值;当a<0时, 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大, 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小, 当时函数y有最大值.利用二次函数的这一性质及图像求最大值、最小值是中学数学中一个重要内容, 它具有广泛的应用价值.现举例说明.

例1已知y=x2+4x+6, 求-1x1时函数的最值.

由图1可知, 二次函数的对称轴方程为x=-2.又-1x1时, 当x=-1时, 函数有最小值y=3, 当x=1时, 函数有最大值y=11.

例2函数y=x2+2 (a-1) x+2, 当x4时, y随x的增大而减小, 求实数a的取值范围.

简解由题意知函数图像的对称轴即a-3.

2. 利用二次函数的图像性质求方程的参数

二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图像与一元二次方程ax2+bx+c (a≠0) 的根之间有着密切的联系, 故利用二次函数的图像特征可以解决方程的参数有关问题.

例3已知函数f (x) =x2+4ax+6.

(1) 若函数f (x) 在[2, +∞) 上是增函数, 求实数a的取值范围;

(2) 若函数f (x) 的增区间是[2, +∞) , 求实数a的取值范围.

解析 (1) 由于函数f (x) 在[2, +∞) 上是增函数, 所以有-2a2, 解得a≥-1.

(2) 由于函数f (x) 的增区间是[2, +∞) , 所以有-2a=2, 解得a=-1.

3. 利用函数的图像解决二次函数相关的问题

利用二次函数的对称性求函数的表达式, 比较函数值大小, 二次函数抛物线的对称性给我们解决二次函数提供了许多有价值的信息, 巧妙地运用它能够迅速地帮我们解答相关题目.

例4如果函数y=x2+bx+c对任意实数t都有f (2+t) =f (2-t) , 那么f (1) , f (2) , f (4) 从大到小的排序为 ( ) .

解答由f (2+t) =f (2-t) 可知抛物线的对称轴为直线x=2.由于抛物线开口向上, 故根据二次函数的图像性质可知f (2)

一次函数图像与性质的重难点讲析 第3篇

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

透过高考看三角函数图像性质 第4篇

考点一、三角函数的单调性

(2009安徽理) 已知函数f (x) =姨3sinωx+cosωx (ω>0) , y=f (x) 的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π, 则f (x) 的单调递增区间是

解由题设f (x) 的周期为T=π, 所以ω=2,

由得故选C。

评注:求三角函数的单调区间时, 需要把函数变形为y=Asin (ωx+φ) +B或y=Acos (ωx+φ) +B, 然后把ωx+φ看成一个整体, 利用y=sinx和y=cosx的单调区间得到一个不等式, 这里应注意A的正负。

考点二、三角函数的周期性

(2010湖南文) 已知函数f (x) =sin2x-2sin2x。

(I) 求函数f (x) 的最小正周期。

(II) 求函数f (x) 的最大值及f (x) 取最大值时x的集合。

解: (I) 因为

所以函数的最小正周期为π。

(II) 略

评注: (1) 一般地, 函数y=Asin (ωx+φ) (其中A, ω, φ为常数, x∈R的周期 (2) 形如要化成再求周期。

考点三、三角函数的值域或最值 (2010天津理) 已知函数f (x) =2姨3

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最小正周期及在区间[0, 2π]上的最大值和最小值;

(Ⅱ) 若的值。

分析:本小题从解析式的结构特点确定使用二倍角的正弦与余弦公式、再借助辅助角公式化为y=Asin (ωx+φ) 型, 由正弦函数的的性质求其最值。

解: (1) 由得

所以函数f (x) 的最小正周期为π。

因为在区间上为增函数, 在区间上为减函数,

又所以函数f (x) 在区间上的最大值为2, 最小值为-1。

(Ⅱ) 略。

图像性质论文 第5篇

1.作函数图像的常用方法

(1) 描点法作图:结合函数的性质, 如定义域、单调性、极值点、奇偶性、周期性、对称性、截距等.

(2) 利用图像变换作图:

平移变换: (m, n>0)

y=f (x) (向右平移m个单位) y=f (x-m) ;

y=f (x) (向左平移m个单位) y=f (x+m) ;

y=f (x) (向上平移n个单位) y=f (x) +n;

y=f (x) (向下平移n个单位) y=f (x) -n.

伸缩变换: (m, n>1)

对称变换:

y=f (x) (关于x轴对称) y=-f (x) ;

y=f (x) (关于y轴对称) y=f (-x) ;

y=f (x) (关于原点对称) y=-f (-x) ;

y=f (x) (关于直线y=x对称) y=f-1 (x) ;

y=f (x) (关于直线x=m对称) y=f (2m-x) ;

y=f (x) (关于直线y=n对称) y=2n-f (x) .

y=f (x) (y轴右侧图像不变, 去掉左侧图像并作出与右侧对称的图像) y=f (|x|) ;

y=f (x) (x轴上方图像不变, 将x轴下方图像沿x轴向上翻折) y=|f (x) |.

2.图像的对称性

常见函数的对称性有:

(1) 函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称圳f-1 (x) =f (x) ;

(2) 函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称圳对于定义域内任意的x都有f (a+x) =f (a-x) .

下面先以二次函数的性质图像举例说明:

在复习函数的单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在对称轴两侧区间上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

例1画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像.

例2设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) .求g (t) 并画出y=g (t) 的图像.

解f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2.

当1∈[t, t+1]即0t1时, g (t) =-2;

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1;

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2.

首先要让学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或者只有最小值或者只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之发生变化.这也是学生在学习时容易出错的地方, 我们可以辅以图像帮助理解.

二次函数, 它有着丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力

我们可以再以其他函数为例对图像的变换应用加以说明.

例3 f (x) =2sinx是定义在区间[-10, 10]上的奇函数, 令g (x) =af (x) +b, 则下列关于函数g (x) 的叙述正确的是 () .

A.若a<0, 则函数g (x) 的图像关于原点对称

B.若a=1, 0

C.若a=-2, b=0, 则函数g (x) 的图像关于y轴对称

D.若a≠0, b=2, 则方程g (x) =0有三个实根

解析当若a=1, 00, g (3) =f (3) +b<-2+b<0, 所以当x∈ (2, 3) 时, 必有g (x) =0, 故B正确.

例4已知函数y=ex的图像与函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称, 则以下选项正确的是 () .

解析函数y=ex的图像与函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称, 所以y=f (x) 是y=ex的反函数, 即f (x) =ln x.

关于一次函数的图像和性质复习研究 第6篇

一、“一次函数的图像和性质”的课本内容与教学目的、重难点

( 一) 课本内容

一次函数的相关知识, 是在学生初中数学学习阶段的核心内容, 因为一次函数问题的计算, 往往需要较大的计算量和对函数图像表达式充分的认识. 并且同人类的日常生活之中, 一次函数也有着广泛运用, 所以在中考时, 一次函数知识不仅是必考的知识点, 同时也是学生初中数学学习的难点.

( 二) 教学目的

知识点的掌握:

1. 熟练掌握一次函数关系式的意义.

2. 熟练掌握一次函数的相关图像和关系式的表达.

对学生的能力要求:

1. 是使用待定系数法绘出一次函数的相应图像, 即找出画图关键点.

2. 可以使用一次函数的知识回答一些简单的生活问题.

3. 启蒙学生的“数形结合”思维.

4. 让学生体验使用一次函数知识正确解答问题后感受到的快乐, 增强学生在今后学习数学中的自信心.

( 三) 教学重难点

教学重点: 让学生掌握一次函数的关系式与图像之间的联系.

教学难点: 如何培养学生对一次函数的读图、认图技能, 并在今后解答实际生活问题中灵活使用一次函数知识.

二、复习“一次函数”相关知识过程

( 一) 整理基础知识

在老师的引导之下, 学生自主完成正比例函数与一次函数相关知识的回忆.

例如, 老师画出图1 函数图像, 并进行针对性提问.

提问:“若图1函数的表达式子为y=kx, 则在该函数当中, k的取值范围是多少?它的图像表现有什么特点?”通过这些问题的引入, 可以有效帮助学生回忆起一次函数的相关知识 ( 如在图1 当中, K > 0, 在图像的表达中, 该图像位于第一象限和第三象限, 且y随着x的增加而增加) . 反问学生若K < 0 时的图像如何, 并让学生上讲台进行绘制. 这样的过程让学生加强了对一次函数的记忆, 并给接下来的课堂教学提供了开端.

学生在复习完正比例函数之后, 就可以展开对一次函数的复习工作了, 复习过程与复习正比例函数相似.

例如, 老师首先画出图2 图像, 并让学生说出关系式是什么, k取值的变化会导致图像产生怎样的变化.

教学上述过程的目的在于让学生回忆起一次函数的性质, 并梳理关于一次函数图像和表达式之间的关系, 可以有效帮助学生重新搭建知识框架, 并加深相应的记忆.

( 二) 运用习题热身

老师帮助学生将一次函数的相关基础知识进行拉通复习之后, 可以设置一些简单的关于一次函数性质的问题, 帮助学生强化对一次函数基础知识的记忆.

例如, 老师在黑板上书写出问题:直线的表达式为y=-x/3, 则该函数经过平面直角坐标系的哪些象限, 并且在该图像之中, x的减小会让y有何变化?

向学生提问简单的一次函数关系式的性质问题, 其目的在于对于优生可以强化其对这一章节知识的记忆. 对于差生, 可以让其在动手演算时对于这类知识点有新的认识.教师在对学生进行一次函数复习时, 要对所有学生的状况都有充分的了解, 并且平衡对待, 让所有学生在复习的过程中都有收获.

( 三) 归纳

学生在复习一次函数的相关性质之后, 老师可以询问学生在一次函数与正比例函数之中, 各自存在有几个待定系数, 在对一次函数的图像表达中会有什么影响. 学生在思考这种问题时, 老师需要引导学生根据图像进行回答, 学生在发言完毕之后, 老师对学生的回答进行系统性总结.

归纳一次函数性质的过程, 可以让学生更加明白待定系数的变化对一次函数和正比例函数的图像产生怎样的变化, 因此可以从更高层面让学生对一次函数的性质进行理解.

( 四) 生活问题分析

在对一次函数的相关问题有了更深层次的分析之后, 老师可以设置一些生活类的一次函数问题, 让学生锻炼一次函数的实际运用能力.

例如, 农民伯伯种植水稻的过程中, 用水量y ( 单位: 吨) 与种植天数的之间的关系如图3 所示.

1. 在种植水稻的第20 天, 一共要用水多少吨?

2. 在X≥20 时, y和x之间的函数关系是什么?

3. 水稻种植的第几天, 一共要用到7000 吨水?

设计这道问题的目的是让学生锻炼自己实际运用数学知识解决生活中出现的问题, 这道题是典型的使用待定系数法可以解决的问题.

( 五) 相关作业的布置

图像性质论文 第7篇

1案例背景

2012年12月, 笔者参加了校内举行的“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动, 开设了一节公开课——“正切函数的性质与图象”。课后通过专家点评、与同行交流, 对学生的主体性地位有了更为深入的认识, 对新课程理念有了更为具体的理解, 对以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点开展的有效教学活动很受启发。下面是笔者对这次活动的心得体会, 希望引起同行的关注。

2教学过程

在研究正弦函数的图像与性质时, 我们借助于单位圆中的正弦线, 通过平移、描点作出了正弦函数的图像, 再结合图像研究性质并解决相关问题。因此在教学中, 很多同行都会采用类比思想, 先大致作出正切函数图像, 再通过图像研究其性质并解决相关问题。本着新课改理念, 新课程不仅仅利用类比思想来研究正切函数, 而且在此基础上做了更大的突破。它换了一个新视角来研究正切函数:先根据已有的知识研究正切函数的相关性质, 结合性质作出图像, 再由图像去验证已有的性质并挖掘其它性质, 最后利用图像和性质解决相关问题。这样既为合理作出正切函数的图像奠定了理论基础, 同时也传递给学生一个讯息, 研究函数的相关问题时, 数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以从数到形来进行研究。这样既拓宽了学生的思维, 又使学生研究问题的方法更上了一个台阶。在此思想的指导下, 笔者在教学中收到了很好的效果。现将本次活动的课堂教学案例梳理如下, 如有不足, 恳请斧正。

教学过程如下:

2.1复习并引入新课

练习:画出下列各角的正切线

设计意图:借助于单位圆让学生作出正切线, 既是复习也为后面用类比的思想作出正切曲线埋下了伏笔。教师就是引导学生联系原有的知识, 为学习新知做好铺垫。这时教师可选择一些有代表性的作图结果, 然后用实物投影展示, 这样哪怕教师不点拨, 学生就清楚了自己的问题所在, 充分体现了以学生为主体的思想。

2.2主动探究, 解决问题

2.2.1研究正切函数的性质

设计意图:教师先设计好学案, 让学生利用在单位圆中作出的正切线, 自己去研究正切函数的相关性质。教师利用几何画板做出角的终边在各个象限时正切线的动画演示。让学生通过几何的画板演示直观感知正切函数的“两域三性”。 (这里也可利用其它知识研究正切函数的性质, 如用三角函数的定义去研究定义域和值域, 结合诱导公式研究周期性、奇偶性…) 这样不仅发挥了学生的能动性, 而且发散了学生的思维。因为学生在收集、整理性质过程中又是一次思维的整合, 对如何研究函数性质又更进了一步。教师在巡视过程中及时汇总学生意见, 引导学生形成正确的知识和方法。同时教师事先要估计学生学习中会遇到的困难, 想方设法帮助学生突破难点。避免教师对学生喋喋不休的低效灌输, 这既是对学生主体性地位的尊重, 也是践行新课程“以学生的发展为本”理念的需要。)

2.2.2结合性质, 小组合作探究, 作出函数的图像

类比y=sinx图象的由来, 你能通过单位圆的正切线作$y=\tan x,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$的图象吗?

1.先画出y=tanx在一个周期内的简图。

2.教师用投影仪展示作图结果, 并作出在定义域上的图象。

3.投影仪展示完整图像。目的是规范作图, 理顺思路的作用。

教师小结:

第一步:画出正切函数的在一个周期内的图象;

第二步:将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去;

第三步:根据图象总结性质。

设计意图:从教学实践看, 教师尽可大胆放手把活动、思考的时间还给学生, 把观察、归纳、概括、探究的机会让给学生, 这样有助于学生思维的发展。教学中先让学生自主绘图, 再投影学生的图像, 通过投影仪纠正图像。最后再结合前面研究出的性质让学生进一步观察图像。这样学生结合定义域会明白为什么正切函数会有两条渐近线, 结合值域明白为什么函数图像可以向上向下无限延伸, 结合奇函数和单调性明白了如何正确连线成图才能得到较精确的正切函数图像。这样通过学生自己动手得到图像, 使学生学会了一类周期性函数的研究方式。学生亲身经历数学研究的过程, 体验探索的乐趣, 增强了学习数学的兴趣, 从而提升学生分析问题的能力及严密认真的态度。课程标准指出, 教师需要合理利用信息技术辅助教学, 揭示数学本质, 让学生的理解更透彻。

2.2.3观察图像, 小组合作讨论进一步研究性质

(1) 正切函数的图像是被相互平行的直线x=$k\pi +\frac{\pi }{2}$, k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。

(2) 对每一个k∈Z, 在开区间内, 函数单调递增.

(3) 正切函数的图像关于原点对称; (问:还有其他的对称中心吗?) 总结出对称中心为$(\frac{k\pi }{2},0)$, k∈Z, 无对称轴

设计意图:除了前面所研究的正切函数性质外, 让学生进一步观察函数图象。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质, 并挖掘出其它的性质。教师提出问题后, 先让学生自主探究, 尝试解决。教学中经常会遇到这样的情况, 教师刚把问题提出来, 就开始头头是道的分析起来, 或者没等学生充分思考就开始提问, 剥夺了学生思维活动的时间和空间。学生的思维丰富多彩, 有奇思妙想, 教师可能始料未及。笔者在教学中通过四人小组合作、交流, 留足够的时间让学生去发现正切函数的其它性质。根据学生学习知识的发生发展成熟过程, 充分体现了学生的主体性, 让学生活起来。小组讨论过后, 先让其中一个小组成员总结、发言, 其它各小组补充或更正, 这样可以培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

2.2.4类比正弦函数“五点法”作图, 如何快速作出正切函数的简图?

正切函数图象的简单作法:三点两线法

(0, 0) 、$(\frac{\pi }{4},1)$、$\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$

“三点”:

$x=\frac{\pi }{2}$和$x=-\frac{\pi }{2}$

“两线”:

设计意图:在学生自主探究、合作交流的基础上, 借助于单位圆作出了较为精确的正切函数图像, 但在利用函数图像解决问题时, 这样作图既费神又费力。所以教学中类比正余弦函数图像简图的作法, 教师引导学生利用三点两线法快速作出正切函数的简图, 从而解决相关问题。

2.3通过练习, 巩固基础

若$-\frac{\pi }{6}<x\le \frac{\pi }{4}$, 求y=tanx的取值范围?例1.已知函数y=tanx

例2.求出满足条件$\tan x\ge \sqrt{3}$的x的取值范围?

思考题:画出函数$y=\left|\text{t}\text{a}\text{n}x\right|$的图象, 探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性。

设计意图:在课堂教学中, 数学教学不是“结果”的教学, 而是“思维活动过程”的教学, 通过前面问题的提出过程, 知识的获取过程, 结论的探究过程, 认识的升华过程以及分析、解决问题的艰难曲折思维过程后, 接下来让学生借助于研究好的图像和性质利用数形结合思想解决相关问题, 及时了解学生课堂中知识掌握的情况。正是有了前面的一系列的教学过程, 学生自己思考得多, 通过自己探究获取的知识掌握得很好, 所以学生就能利用所学的知识, 快速地解决相关的问题。

2.4总结思考, 提高能力

学生交流在本节课学习中的体会、收获, 交流学习过程中的体验和感受, 师生合作共同完成小结。

(1) 学习了正切函数图像的作法;理解了正切函数的图像特征;掌握正切函数的基本性质。

(2) 学会用类比方法研究问题, 渗透数形结合的思想。

(3) 体验了成功的快乐。

设计意图:整堂课已经接近尾声, 笔者也想了解一下学生在这堂课中收获和体会。笔者随机叫了两名同学进行了课堂小结。其中一名男生回答说:“在接触一个新函数时, 可以尝试回忆学过的已有函数, 看看能不能利用类比的思想解决一类问题, 然后大胆去猜想、论证。”另外一名女生说:“通过这节课的学习, 使她明白了合作、交流, 自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函数问题:数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以换个角度从数到形来研究, 为我们研究数学问题提供了新视角。”教室里顿时响起了雷鸣般的掌声, 这是我事先没预料到的, 也充分说明笔者这节课上得非常成功。学生通过自主思考、合作探究的成效是显著的!

2.5分层作业, 巩固拓展

(1) 全体同学完成作业本;

(2) 每位同学结合今天研究的内容, 设计一道回家作业题, 并完成。

3案例反思

对相同的教学内容不同的教师处理教材的方法可能也不一样。这些不同, 缘于教师对教材的理解与处理、对学生原有认知结构的认识以及对教学实际的把握;也缘于教师教学风格的不同。这节课表面看看很简单, 内容也不多, 前面又有了正余弦函数研究的铺垫, 上起来应该不难。但专家点评说这节课要把它上好是非常难的, 很容易上成一节流水课, 没有什么新意。而且这堂课实际上是高中教材中很难啃的一块骨头。不过专家对笔者的这堂课给予了高度的肯定和赞赏, 认为笔者很好的实施了新课程理念, 课堂中让学生共同探讨, 让学生自己去发现问题、解决问题。对学生核心数学思想的提升有很大的帮助。同时处处保持互动, 以学生为本, 充分发挥和挖掘学生的潜能。同时肯定笔者具有很好的数学素养!通过课后与同行交流、聆听专家点评后, 笔者更深刻地认识到数学教育要彰显出学生的主体性地位。如果教师提出问题后就讲个不停, 这样只能用教师的思维, 或少数几个被提问学生的思维填补其它大多数学生的思维, 这样的结果是强迫学生接受, 破坏了思维活动的自主性、独立性, 有碍于学生思维的发展。课堂教学中要充分尊重学生的思维活动过程, 让其暴露出来, 即使思维过程是错误的甚至是可笑的, 但这实际是存在的, 不可以视而不见。教师需要根据不同的教学内容, 指导学生灵活采用接受、记忆、模仿、练习、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式;在教学中, 可以借助信息技术, 提高课堂容量, 把难以呈现的数学本质揭示出来, 也可以用数学实验让学生体验知识形成的过程。要以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点, 践行新课程的教育理念, 开展有效的教学活动。

感谢“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动, 使笔者从理论到实践对数学教学都有了更新的认识。在今后的教学中, 笔者将切实地尊重学生的主体地位, 践行新课程理念, 扮演好引导者、组织者、合作者的角色。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.

图像性质论文 第8篇

冀教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第三十四章“二次函数”第三节“二次函数的图像和性质”（第一课时）。

本节课主要讲述y=ax²（a≠0）图像和性质。对于函数的图像学生已有了丰富的作图经验，所以本节课主要以学生自主画函数图像为主，在作图的过程中探究并发现y=ax²（a≠0）的性质，从而较好的展开知识发生和发展的过程。教师要引导学生通过画图提炼函数的基本性质，并对性质加深理解。

教材分析

1.教材所处的地位和作用

本节课是y=ax²（a≠0）的图像和性质，用最简单的二次函数的图像来说明二次函数的几个要素（图形形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、以及最大值和最小值）这一节课在整个二次函数图像这一节中起到承上启下的铺垫作用，直接影响到后面一般二次函数图像的画法及性质。

2.教学目标

知识与技能：通过画图认识二次函数y=ax²（a≠0）的图像是一条抛物线，掌握抛物线的对称轴，顶点坐标，最大值或最小值。

过程与方法：学生自己动手，画图，交流，讨论，主动探究总结二次函数y=ax²（a≠0）的性质。

情感态度价值观：学生动手，动脑，探究获得必需的数学知识，激发数学潜能，提高学生的学习兴趣，形成主动学习的态度。

3.教学重点、难点

教学重点 在这节课中通过自主画图发现二次函数y=ax²（a≠0）的图像和性质是重点。

教学难点 按要求画一条规范的二次函数的图像是这节课的难点。

4.教材处理

根据本节课的知识特点，基于“真正以学生为本”的教学理念，我将这节课的主动权完全交给了学生，让他们通过亲身感受、广泛交流，观察分析进行类比联想，从而形成画二次函数图像的基本方法。作图始终是这节课的主线。关于二次函数性质的总结，也是让学生从具体图像中观察，发现性质，进而抽象到一般二次函数上去。这节课始终贯穿从简单到复杂，从特殊到一般的过程。

教学方法与手段

教学方法

本节课在教法上采取探究式的教学法，体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上和态度上的跨越;在学法上突出学生的“探究发现”，在教学过程中立足于让学生自己去动手，去动脑，去发现。利用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，实效性。

教学过程

1.复习旧知，引入新知，展示目标

提问学生们一次函数、反比例函数的图像，设置疑问：二次函数的图像是什么样的？激发学生的探究欲望。然后观察一组图片，让学生们自己找到抛物线的基本图案，先入为主，有一种感性的认识。同时出示本节课的学习目标，让学生做到心中有数。接着设置疑问：如何画二次函数y=ax²（a≠0）的图像？带着问题展开本节课的教学。

2. 问题牵引，画图探究，发展知识

带着前面提出的问题，进入下一环节。这一环节是这节课的重点部分，这节课的重难点的突破也在这一环节体现，大致分三个阶段进行。

第一阶段：由教师引导学生动手画y=x2的图像。教师可先复习提问画函数图象的一般步骤，使学生心中明了规范的画图过程。接下来学生重新经历列表、描点、连线的画函数图像的过程，这时教师可先不对学生的画图做任何评论，让学生根据自己的认识自行去画，同学们可能画出的图像各不相同，这时教师再在屏幕上投影出列表的内容，与同学们共同交流表格的特点，从而渗透画图像的方法，最后由学生自己统一作图方法：列表、对称取值、描点、连线。对二次函数的图像有了一些认识，然后教师适时引导学生逐步探索新知识。

第二阶段：在第一阶段画图的经验基础上，学生独立完成y=-x2的图像，通过列表、描点、连线再一次印证这节课的知识目标。教师此时要观察学生的作图是否有意识地渗透二次函数的性质。

第三阶段：学生迅速完成y=x2与y=﹣x2的画图，一方面有目的地强化学生的作图能力，突破本节课的难点；另一方面为全面系统总结二次函数的性质做准备。

在这一环节我遵循从兴趣入手，循序渐进，反复渗透，逐步提高的原则，让学生自主从事画图、观察、交流、归纳等“做数学”的活动，使学生在活动探索中感悟如何发现问题，解决问题。在学生有困难的时候，老师要加以引导。

3.课堂总结归纳，拓展新知识

在这一部分我精心设计了一组提纲式的问题串，尝试让学生通过讨论交流得到问题的答案。其实通过前面做几个函数的图像，学生独立得到问题的答案是不应该困难的，而且应该是顺理成章的。把设计的问题解决掉以后，就达到了全面系统总结二次函数性质这一主要目的。同时我还创造性的使用了教材，把二次函数的开口程度的大小和谁有关也设计进来，这个问题通过同学们观察做出的一系列的函数图像，答案应该是很容易得到的。同时我还把这几个二次函数的图像做在了一个幻灯片里边，通过比较进一步加深了理解。在这一阶段的探究中问题串的设计一定要全面、深刻、透彻。要引导学生通过观察具体的函数图象，自然而然地总结出性质，这样学生会有一种成功的愉悦感。

4.课堂小结，掌握知识

这节课主要通过画二次函数y=ax²（a≠0）的图像，总结y=ax²（a≠0）的性质。要求学生会快速画出规范的二次函数的图像，并通过自己的努力总结并掌握性质。

5. 课堂练习及课后作业

因为课本上的练习题和习题都比较简单直观，所以尽量争取在课堂上完成课本上的练习题和习题。这样做可以及时复习巩固新知识。

课后作业分为两部分：一部分是从生活中找出一些抛物线的实例，进一步强化基本图形。另一部分是复习和巩固函数的性质，进一步强化本节课的知识目标。如（教材第十页练习第二题和习题第一题）

6. 板书设计

二次函数y=ax²（a≠0）

①图像是一条抛物线，它关于y轴对称，对称轴为y轴。

②它的顶点坐标为（0，0）

③抛物线的开口方向由a的符号决定：当a＞0时，开口向上，此时抛物线有最低点；当a＜0时开口向下，此时抛物线有最高点。

④抛物线开口程度的大小由a的绝对值的大小来决定。

设计说明及课后反思

图像性质论文 第9篇

在学习过程中,我们常会用到对勾函数f( x) = x +1/x,x∈( 0,+ ∞ ) ; 现在我们来研究一下它的图像和性质.

由) 可知f( x) 在x = 1时f'( x) = 0.

f( x) 在x > 1时f'( x) > 0; f( x) 在0 < x < 1时f' ( x) < 0.故知f( x) 在( 0,1) 上为单调减函数,在( 1,+ ∞ ) 为单调增函数,x = 1时取最小值为2.

再从极限角度分析,当时x→0+,1/x→ + ∞ ,故f( x) →+ ∞ ,y轴为一渐近线; 当x→ + ∞时,1/x→0+,f( x) →x,故y = x为另一条渐近线.

接着我们从奇偶性研究f( x) = x +1/x,x∈( - ∞ ,0) ∪( 0,+ ∞ ) 它是奇函数,图形关于原点中心对称. 故可画出其图如下:

同理f( x) = ax +b/x,x∈( - ∞ ,0) ∪( 0,+ ∞ ) ,a > 0,b> 0的图像也有两条渐近线,一条为y轴,一条为y = ax直线,其实它们的图形就是双曲线. 定义域x∈( 0,+ ∞ ) 时最小值为定义域x∈ ( - ∞ ,0 ) 时最大值为

二、习题与应用

1. 若 x > 0,则 x +x/2的最小值为___.

2. 不等式|x +1/x|> | a - 2 | + 1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是__ .

3.“a =1/8”是“对任意的 正数x,2x +a/x≥1”的( ) .

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 设函数f( x) = 2x +1/x- 1( x < 0) ,则f( x) ( ) .

A. 有最大值B. 有最小值

C. 是增函数D. 是减函数