2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷

2020 年广西民族大学高等代数考研真题 A 卷 考生须知 1．答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。 2．答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。3．交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一、（15 分）已知多项式 f ( x )  x 4  x 3  2 x 2  x  1, g ( x )  x 3  2 x 2  2 x 1，求它们的最大公因式( f ( x ),g ( x)) ，并求它们的公共根。二、（15 分）设 a1a2an  0 ，计算下列行列式的值，并给出 D  0 的条件D 1+a123n12  a23n123  a3n123n  an.三、（15 分）x1  x2  x3  1已知线性方程组 2 x1  3 x2  kx3  3 ，试讨论 k 取何值时，方程组无解、有唯一解  x1  kx2  3 x3  2和有无穷多组解。当有解时，写出其解表示式。四、（15 分）已知 3 维线性空间 V 有两组基：(I) {1,2 ,3};(II) {3, 22 , 31}（1）求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵；（2）若向量 在基 (I) 下的坐标为 (1, 2, 3)T ，求 在基 (II) 下的坐标。五、（15 分）设 A 是一个 3 阶方阵，且满足下列等式求矩阵 A ，并求 A 的全部特征值。六、（15 分）设 1 , 2 , 3 是 n 阶矩阵 A 的 3 个互不相同的特征值，1 ,  2 , 3 分别是 A 属于 1 , 2 , 3的特征向量，证明：1   2 3 不是 A 的特征向量．七、（20 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且A  0，证明：必存在 n 维向量 x  ( x , x ,, x )T  012n使得 f ( x )  xT Ax  0.八、（20 分）已知  1 ,  2 ,3 是欧氏空间 V 的一组标准正交基，设1  1   2   3 ,  2  1   2   3 , W  span{1 , 2},(1) 证明  1   2 ,  1   2 和  1   3 分别是 W 和 W  的标准正交基；22 2 2(2) 求 2 23在 W 中的内射影 ，即求 W ，使   ,  W. 011   00 31 2A1   00 3 1 100 31  九、（20 分）设 A 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， A2  I (单位变换)，令V1  x x  V , Ax  x, V2  x x V , Ax  x,证明：V V1 V2