2019年湖北武汉科技大学高等代数考研真题

2019 年湖北武汉科技大学高等代数考研真题一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1、设 均是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（ ）。（A）与相似 （B）与相似（C）与相似 （D）与相似2、设矩阵21111214Aaa，21bdd，集合1,2 ，则线性方程组 Axb 有无穷多解的充分必要条件是 （ ）。 (A) ,ad (B) ,ad (C) ,ad (D) ,ad3、二次型 123,,f x x x在正交变换 下的标准形为2221232yyy ，其中，若，则 123,,f x x x在变换下的标准形是（ ）。(A) 2221232yyy (B) 2221232yyy (C) 2221232yyy (D) 2221232yyy4、所有 4 阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间的维数是 （ ）。（A） 4 维 （B） 16 维 （C） 8 维 （D） 10 维5、设，，均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组＋，＋线性无关是向量组，，线性无关的（ ）。（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件6、设是 3 阶方阵, 将的第 1 列与第 2 列交换得, 再把的第 2 列加到第 3 列得, 则满足的可逆矩阵为（ ）。 （A） （B） （C） （D） 7、设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是（ ）。(A) (B) (C) (D) 8、设为阶可逆矩阵，交换的第 1 行与第 2 行得矩阵, 分别为的伴随矩阵，则 （ ）。(A)交换的第 1 列与第 2 列得 (B)交换的第 1 行与第 2 行得(C)交换的第 1 列与第 2 列得 (D)交换的第 1 行与第 2 行得 二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1、行列式____________。2、设矩阵与等价，则____________。3、设均为3维列向量，记矩阵，，若，则_____。4、若矩阵，则的秩为 ____________。5、 设为 3 维列向量，是的转置. 若，则=______。6、设矩阵，为 2 阶单位矩阵，若矩阵满足，则 ____________。三、计算题(45 分)1、（15 分）已知矩阵,（1）求；（2）设 3 阶矩阵，满足，记，将分别由线性表出。2、（15 分）设矩阵，且方程组无解，（1）求的值； （2）求方程组的通解。3、（15 分）设向量组内3R 的一个基，，，，（1）证明向量组123 为3R 的一个基；（2）当 k 为何值时，存在非 0 向量在基与基123 下的坐标相同，并求。四、证明题(35 分)1、（15 分） 证明阶矩阵与相似。2、（10 分）如果，那么。3、（10 分） 是线性空间上的可逆线性变换，则的特征值一定不为。