2019湖北考研数学二真题及答案

2019 湖北考研数学二真题及答案一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时，若与 是 同阶无穷小量，则（ ）、 . 、. 、 . 、 .【答案】.【解析】因为 ，所以，选 .2、曲线的拐点是（ ）、 . 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】，，令 ，解得或。当时，；当时，，所以是拐点。故选 .3、下列反常积分发散的是（ ）、. 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】、，收敛；、，收敛；、，收敛；、，发散，故选。4、已知微分方程的通解为，则依次为（ ） 、 . 、 . 、. 、.【答案】D.【解析】 由题设可知是特征方程的二重根，即特征方程为，所以。又知是方程的特解，代入方程的。故选。5、已知积分区域，，，，则（ ）、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。由 ，可得 【画图发现包含在圆的内 部 】 ， 令， 则 ， 于 是 有 ， 从 而。令，则，。在内单调减少，在单 调 增 加 ， 又 因 为， 故 在内， 即，从而。综上，选。6、设函数的二阶导数在处连续，则是两条曲线，在对应的点处相切及曲率相等的（ ）、充分非必要条件. 、充分必要条件. 、必要非充分条件. 、既非充分也非必要条件.【答案】.【解析】充分性：利用洛必达法则，由可得 及，进而推出 ，，。由此可知两曲线在处有相同切线，且由曲率公式可知曲线在处曲率也相等，充分性得证。必要性：由曲线，在处相切，可得，；由曲率相等，可知或。当时，所求极限，而未必等于 0，因此必要性不一定成立。故选。7、设是 4 阶矩阵，为的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有 2 个向量，则（ ）。、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】因为方程组的基础解系中只有 2 个向量，，所以，从而，则0，故选 。8、设是 3 阶实对称矩阵， 是 3 阶单位矩阵，若,且，则二次型的规范型为（ ）、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】设是的特征值，根据得，解得或；又因为，所以的特征值为 1，-2，-2，根据惯性定理，的规范型为。故选。二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、.【答案】。【解析】.10、曲线在对应点处的切线在轴上的截距为 。【答案】.【解析】斜率 ，切线方程为 ，截距为。11、设函数可导，，则 。【答案】.【解析】，．12、曲线的弧长为 ．【答案】【解析】13、已知函数，则 ．【答案】．【解析】设,则 .14、已知矩阵，表示元素的代数余子式，则 ．【答案】.【解析】由行列式展开定理得．三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分 10 分）已知函数，求，并求函数的极值．【 解 析 】 当时 ，，； 当时 ， ； ，即在处不可导．综合上述：；令得驻点；是函数的不可导点。当时，；当时，；当时，；当时，；故是函数的极小值点，极小值为；是函数的极小值点，极小值为；函数在处连续且有极大值．16、（本题满分 10 分）求不定积分．【解析】设 （1）两边同乘以且令，可得；（2）两边同乘以且令，可得；（ 3 ） 两 边 分 别 令，， 可 得； 解 得。则 ，于是。17、（本题满分 10 分）设函数是微分方程满足条件的特解．（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得，把初始条件代入，得，从而得到 （2）旋转体的体积为．18、（本题满分 10 分）设平面区域，计算二重积分．【解析】显然积分区域关于轴对称，由对称性可得 ；将化为极坐标，有 ，于是.19、（本题满分 10 分）设是正整数，记为曲线与轴所形成图形的面积，求，并求【 解 析 】 当时 ，； 当时 ，，故曲线与轴之间图形的面积应表示为 ，先计算， 作变量替换 ，于是有 .所以 ，因此 。20、（本题满分 11 分）已知函数满足关系...