2020年北京高考数学试题

2020 年北京高考数学试题本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（ ）．A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．A． B． C． D．3．在的展开式中，的系数为（ ）．A． B．5 C． D．104．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A． B． C． D．5．已知半径为 1 的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A．4 B．5 C．6 D．76．已知函数，则不等式的解集是（ ）．A． B．C． D．7．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为 ．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线8．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项9．已知，则“存在使得”是“”的（ ）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．A． B．C． D．第二部分（非选择题 共 10 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11．函数的定义域是____________．12．已知双曲线，则 C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13．已知正方形的边长为 2，点 P 满足，则_________；_________．14．若函数的最大值为 2，则常数的一个取值为________．15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W 与时间 t 的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题 13 分）如图，在正方体中，E 为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本小题 13 分）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题 14 分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200 人400 人300 人100 人方案二350 人250 人150 人250 人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）19．（本小题 15 分）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴...