拿破仑三角形证明范文

拿破仑三角形证明范文第1篇

CA

2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗?说明理由。

F

3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗?说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗?

A B

拿破仑三角形证明范文第2篇

2、如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE.

求证:BE∥CF.

3、如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF. 求证：AC=EF.

4、如图，在ΔABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线。 求证：AD⊥BC，

5、如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC。 求证：∠EFD=∠BCA

6、如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。 (1)∠DBH=∠DAC; (2)ΔBDH≌ΔADC。

BAFCDEBEDCAGFABDCAHEBDC7、已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P， 求∠APE的大小。

8、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

10、已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC， 点P在BD上，PM⊥AD于M，•PN⊥CD于N， 判断PM与PN的关系.

11、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，

FAEDAMPCDNBBD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F.

求证：BD=2CE.

12、在△ABC中，,AB=AC， 在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE交BC于点F，求证DF=EF .

BCADBFCE13、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF. 求证：EG=EF; 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

GBEDAFC

14、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M.

i. ii. 求证：MB=MD，ME=MF

当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.

15、如图(1),(1) 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 试说明: BD=DE+CE.

(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.

拿破仑三角形证明范文第3篇

一.选择题

1.修凳子时常在旁边加固成三角形，如图，这是运用了三角形的(　　)

A.三条边的特性

B.易变形的特性

C.稳定性

2.一个三角形的两条边分别长3cm和4cm，那么第三条边长可能是(　　)

A.1cm

B.5cm

C.7cm

3.3根同样长的小棒可拼成(　　)。

A.长方形

B.正方形

C.三角形

4.在一个三角形中，最多有(　　)个锐角.

A.3

B.2

C.1

5.如图下面是小明为爷爷的菜地设计的篱笆，(　　)种方案最稳固.

A.

B.

C.

D.

6.在一个三角形中，有两个锐角，则第三个角(　　)

A.一定是锐角

B.一定是直角

C.一定是钝角

D.可能是锐角

7.有三根小棒，长度如下，首尾相接不能围成三角形的是(　　)

A.2cm，5cm，4cm

B.3cm，3cm，7cm

C.9cm，6cm，5em

二.填空题

1.一个三角形的边长都是整厘米数，其中两条边分别长5厘米和8厘米，那么第三条边最长是________，最短是________.

A.3厘米

B.4厘米

C.12厘米

D.13厘米

2.已知三角形的两条边长分别是4厘米和8厘米.那么第三边最长是________厘米.最短是________厘米.(边长取整厘米数)

3.一个三角形的两个内角分别是45°和90°，另一个内角是________，这是一个________三角形.

4.如图中________是锐角三角形.

5.在一个三角形中，最多有________个钝角.在一个三角形中，最多有________个直角.在一个三角形中，最多有________个锐角.

三.判断题

1.自行车的框架是三角形，它是运用三角形的稳定性设计的.________(判断对错).

2.用2根3cm、1根7cm长的小棒可以围成一个三角形.________(判断对错)

3.三个角相等的三角形一定是等边三角形.________.(判断对错)

4.钝角三角形的两个锐角的和小于90°.________.(判断对错)

5.三角形的边越长，内角和越大.________(判断对错)

四.应用题

1.一个三角形的三条边都是整厘米，已知其中两条边的长度分别是5厘米和9厘米，则第三条边最短是几厘米?最长是几厘米?

2.在一个三角形中，∠1，∠2，∠3为三角形的三个角，已知∠1=45°，∠2比∠1大15°，求∠2和∠3的度数分别是多少.

拿破仑三角形证明范文第4篇

E

5.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG.

求证：BEDG.

A B

G F

AB∥ED，ABCE，BCED.C为BE上一点，1.已知：如图，点A，D分别在BE两侧.求

证：ACCD.

2.如图，在正方形ABCD中，CEDF.求证：△CBE≌△DCF.E B

F

C

A

D

C

6.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

D

(1)求证：△ADE≌△CB′E;(2)若AB=8，DE=3，试求BC的长.

AD

′

E

C

B

3.如图，ABCD是正方形.G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG 于 F.(1)求证：△ABF≌△DAE;(2)DEEFFB.

A

B

D

全等三角形证明题

21.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CF∥AB. 求证：ADCF.

A

E

C

2.已知：如图，在矩形ABCD中，AF=BE.求证：DE=CF.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.求证：△ABE≌△ACE.

F G

C

B

E

A

C

B

C

，AD，AD的延长线交3.把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结 BE

BE于点F.(1)求证：△BEC≌△ADC;(2)说明：AF⊥BE.

全等三角形证明题

31.如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF. 求证：AB=DE.

D

C

B E C

F

4.已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，

AE=CF. 求证：(1)△ADF≌△CBE;(2)EB∥DF.2.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB∠DCE90，D为AB边上一点.求证：(1)△ACE≌△BCD;(2)ADAEDE.

D

E

B

5.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E.请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全

A

等的过程.

C

3.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线

BC上，且PE=PB.求证：(1)PE=PD ;(2)PE⊥PD.的位置，连结EF、CF. 求证：(1)△ABE≌△CBF;(2)FC⊥AC.

D

D

E

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE

交BC的延长线于点F.求证：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.

4.如图，正方形ABCD中，E是对角线AC或延长线上一点，把BE绕点B顺时针旋转90°到BF

DEF

AB C

E

B

C

拿破仑三角形证明范文第5篇

(1)重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1; (2)垂心高线的交点：高线与对应边垂直; (3)内心角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

(1)OAOBOC0O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1x)(x2x)(x3x)0

(y1y)(y2y)(y3y)0

OAOBOC0

x1x

yy1

x2x33y2y3

3O是ABC的重心.

证法2：如图

OAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：

1O是ABC的重心

BDC

(2)OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0 OBAC

同理OABC，OCAB

O为ABC的垂心

(3)设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：



ABc

AB

ACAC方向上的单位向量， 分别为AB、cb

ACb

平分BAC,

ABcACb

AO()，令

bcabc

AO

bcabc

(

ABc



ACb

)

化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

(

4O为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABAC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心 分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.ABAC2AD

OPOA2AD OPOAAP AP2AD

BDC

AP//AD

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.

例2：(03全国理4)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OPOA，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的(B)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：

AC方向上的单位向量，

分别为AB、



AB

AC平分BAC,

点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足

OPOAAB

AC，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的

()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足

. 

BC





=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为()

A.2B.

32C.3D.6

2.若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB() A.

12

B.0C.1D.

12

3.点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形

ABOC

面积之比是() A.0B.

32

C.

54D.

43

4.ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA

BCOB

CAOCAB，则O是ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

OHm(OAOBOC)，ABC的外接圆的圆心为O，6.两条边上的高的交点为H，

则实数m =

1ABACABAC

7.(06陕西)已知非零向量AB与AC满足(+ )BC=0 = , 则

2|AB||AC||AB||AC|△ABC为()

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形

8.已知ABC三个顶点A、B、C，若AB

ABC为()

ABACABCBBCCA，则

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、

拿破仑三角形证明范文第6篇

E

5.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG.

求证：BEDG.

A B

G F

AB∥ED，ABCE，BCED.C为BE上一点，1.已知：如图，点A，D分别在BE两侧.求

证：ACCD.

2.如图，在正方形ABCD中，CEDF.求证：△CBE≌△DCF.E B

F

C

A

D

C

6.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

D

(1)求证：△ADE≌△CB′E;(2)若AB=8，DE=3，试求BC的长.

AD

′

E

C

B

3.如图，ABCD是正方形.G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG 于 F.(1)求证：△ABF≌△DAE;(2)DEEFFB.

A

B

D

全等三角形证明题

21.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CF∥AB. 求证：ADCF.

A

E

C

2.已知：如图，在矩形ABCD中，AF=BE.求证：DE=CF.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.求证：△ABE≌△ACE.

F G

C

B

E

A

C

B

C

，AD，AD的延长线交3.把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结 BE

BE于点F.(1)求证：△BEC≌△ADC;(2)说明：AF⊥BE.

全等三角形证明题

31.如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF. 求证：AB=DE.

D

C

B E C

F

4.已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，

AE=CF. 求证：(1)△ADF≌△CBE;(2)EB∥DF.2.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB∠DCE90，D为AB边上一点.求证：(1)△ACE≌△BCD;(2)ADAEDE.

D

E

B

5.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E.请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全

A

等的过程.

C

3.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线

BC上，且PE=PB.求证：(1)PE=PD ;(2)PE⊥PD.的位置，连结EF、CF. 求证：(1)△ABE≌△CBF;(2)FC⊥AC.

D

D

E

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE

交BC的延长线于点F.求证：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.

4.如图，正方形ABCD中，E是对角线AC或延长线上一点，把BE绕点B顺时针旋转90°到BF

DEF

AB C

E

B

C