考研不等式的证明范文

考研不等式的证明范文第1篇

二、教学目标：

1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2. 理解不等式的性质，掌握不等式证明的基本方法.

三、重点难点：

1. 了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件.

2. 利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明，培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力.

四、教学过程：

(一)知识要点

1、不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数a、b，都有

abab0; abab0; abab0.

(2)比较两实数a、b大小的方法求差比较法，即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小.

2、不等式的性质定理

定理1：若ab，则ba;若ba，则ab.即abba. 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性. 定理2：若ab，且bc，则ac.

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性.

定理3：若ab，则acbc.

说明：① 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向; ② 定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法; ③ 定理3的逆命题也成立;

④ 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边. 定理3推论：若ab，且cd，则acbd.

说明：① 推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;

② 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向;

③ 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式;异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.

定理4：如果ab且c0，那么acbc;如果ab且c0，那么acbc. 推论1：如果ab0且cd0，那么acbd.

说明：① 不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变;乘以同一个负数，不等号方向改变;

② 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向;

③ 推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

nn推论2：如果ab0， 那么ab (nN且n1).

定理5：如果ab0，那么nanb (nN且n1).

1 例题1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假.

(1)若ab，则acbc;

(2)若ab，则acbc; (3)若acbc，则ab;

(4)若ab0，则aabb; (5)若ab0，则22222211ba;

(6)若ab0，则. ababcc. ab◆应用Ⅰ 证明简单的不等式

例题2.1 已知ab0，c0，求证：

应用练习 设a、b是非零实数;若ab，则下列不等式成立的是(

) A.ab

B.abab

C.◆应用Ⅱ 判断命题的真假

例题2.2 对于任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(

) A. “acbc”是“ab”的必要条件 B. “acbc”是“ab”的必要条件 C. “acbc”是“ab”的充分条件 D. “acbc”是“ab”的充分条件

应用练习 已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的(

) A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 ◆应用Ⅲ 比较实数的大小 222211ba

D.

ab2a2bab11

22、、a、b的大小关系. ab11112222提示：首先利用a、b是正数，、是负数，再分别去比较a、b、、的大小.

abab例题2.3 若1ab0，试比较

应用练习 已知a0，且a1，mn0，比较Aa

◆应用Ⅳ 求取值范围问题 例题2.4 已知

m11n和的大小. Bamnaa22，求

2的范围.

11应用练习 若、满足，试求3的取值范围.

123提示：可将3用，2表示出来，问题可得解.

2 3.证明不等式的基本方法 (1)比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论;为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.

以上介绍的是差值比较法，用比较法证不等式还可采取商值比较法，即左、右两边作商判断商值与1的大小. (2)综合法

利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法;利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.

综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B. (3)分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”.

例题3.1已知a,bR，求证：abab.

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.

〖练习〗若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).

例题3.2 已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：

应用练习 证明：(ab)(cd)(acbd).

(1)

变式训练 证明函数f(x)

应用练习 证明函数y2

x24x3abba2422ama(1) .

bmb222221在其定义域上是减函数.

xx在[2,)上是增函数. 五.课堂小结：

1.不等式的概念和性质式本章的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，复习时要高度重视.对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化;记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力.

2.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证;

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.

3.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

4.利用性质求数(式)的取值范围的方法

应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围，由于变量间彼此相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解此类题目要特别小心.一般来说，可采用整体换元或待定系数法.

例如，已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是__________.(答案用区间表示)

方法一：设2x3ys(xy)t(xy)，通过对比系数求出s、t的值. 方法二：画出1xy4的可行域为ABCD，z(3,8)的最优解为A、C两点.

考研不等式的证明范文第2篇

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

考研不等式的证明范文第3篇

既然用不等式的性质证明的技巧性太强，那么换个思路，用其他驾轻就熟的方法不是可以避重就轻?所以我也不常用不等式的性质来证明不等式的题目。

证明不等式的常用方法：

1、二次函数。利用最值求解。

2、三角函数。利用正弦函数、余弦函数的有界性求解。

3、向量。利用向量:ab=| a||b |cosA,即ab≥| a||b |cosA求解。

4、几何法。利用立体几何与平面几何知识求解。

方法不一而足。其本质是限制所要证明的代数式的范围。

例6 求证：

(2)若a>b>c>0，d>c，ac>bd，则a+c>b+d。 解 (1)因x+y+z=1，故可设

其中t1+t2+t3=0，于是

(2)因a>b，d>c，故可设a=b+t1，d=c+t2，其中t1>0，t2>

∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2>0 ∴a+c>b+d 注 ①用n个数的平均数与适当参数来表示这n个数的代换通常称为均值代换，如(1)中施行的代换。这种代换的特点是利用对称性可使运

数组，不能保证由上述代换而得到。如x=y=0，z=1就不存在对应的t值。 ②当a>b时，令a=b+t(t>0)，其中t是a用b表示时引进的增量。这种代换通常称为增量代换。它的特点是把条件中的不等关系转化为相等系，使得变形过程简化。 例7 求证：

解 (1)由a>0，b>0，a+2b=1，可设

则有

(2)因a>b>0，且(a-b)+b=a，故可设

这时，原不等式等价于

故只须证明

这个不等式显然成立。事实上，因为0

故原不等式得证。

注 代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得简捷解法。

例8 求证：

(1)|a|<1，|b|<1，|c|<1，则abc+2>a+b+c; (2)ai，bi∈R(i=1，2，3)，且ai≠0，则 (a1b1+a2b2+a3b3)2(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32) 当且仅当bi=λai时取等号。 解 (1)原不等式等价于 (bc-1)a+(2-b-c)>0 构造一次函数

f(x)=(bc-1)x+(2-b-c) (-10 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0 于是，根据一次函数的单调性，f(x)在区间[-1，1]上恒大于0。而a∈(-1，1)，故f(a)>0，即(bc-1)a-b-c+2>0。所以

abc+2>a+b+c (2)构造二次函数

f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2

(当且仅当bi=λai，λ∈R时取等号) 所以

注 函数思想是解决数学问题的重要思想，应用广泛。在不等式证明中，若能要据其结构特征，构造相应的函数，则可充分利用函数的性质，使问题简明。 (2)中不等式及其证明可推广到一般情形：若ai，bi∈R(i∈1，2，n)，且ai≠0，则

(a1b1++anbn)2(a12++an2)(b12++bn2) 这就是著名的柯西不等式。柯西不等式不仅应用广泛，而且它的证明方法，即构造二次函数并通过其判别式证明不等式的方法，堪称构造法的典范。

例9 设n∈N，求证：

解 (1)采取逐项放缩的方法。由于

令1，2，，n，则有

依项相加，即得

(2)设

并引进辅助式

比较两式的对应因式可知

注 用放缩法证不等式，常通过拆项、分组、加强命题等方式进行。此法没有固定模式，关键在于放缩要适度。放得过宽或缩得太小，都会导致方法失效。

练习：

1、 已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：

当且仅当a=b时右边取等号。

2、已知2x+3y=1,求x2+y2的最大值。

用向量的方法是：构造向量(x,y),(2,3)即可。以后有机会，继续这方面的探讨。

3、请教两道对称不等式的证明 (1)a,b,c,d为正数,证明

考研不等式的证明范文第4篇

斜桥中学肖剑

一、教材分析

不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法(比较法、分析法、综合法)为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标

1.知识目标：⑴知道算术平均数和几何平均数的概念

⑵探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法;

⑶能利用基本不等式证明简单的不等关系。

2.情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式

中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

3.能力目标:⑴通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简

单的方法证明其它不等式问题。

⑵体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力

三、教学重、难点

以学生探索发现定理来得出重点，以学生小组讨论，教师点拨来突破难点。

四、教学方法

以学生自主探究为住，教师归纳总结，采用启发式教学。

五、教学过程

1、创设情境、导入新课

利用多媒体显示下面不等式，由学生完成比较大小。

34294

423

32222

2、问题探究、讲授新课

提出问题：能否发现什么规律?

通过比较，学生不难得出，两数和的一半大于两数积的算术平方根。从而得出数学表达式abab。从而得出本节课的第一个重点：基本不等式的定理。 这样由学生自主探索、

2发现新知，可让他们体会获得成功的愉悦感。在这里，如果学生漏掉a和b是正数，可对他们进行修正，并可扩充到a0，b0。同时讲明取“=”当且仅当的含义，接着可向学生讲

解算术平均数和几何平均数的概念。

得出这个定理后，下面我可利用多媒体生动地向学生展示该不等式的几何证明即不等式的几何意义同时强调取等号时的位置，这样可提高他们学习数学的兴趣。展示完后，我便可提问，刚才我们是从图中直观地看出这个不等式是正确的，但我们数学是需要严谨的逻辑证明，同学们可用哪些方法去证明呢?这便是本节课的第二个重点，也是难点。在此，可鼓励学生发挥集体的力量，一人不行两人，两人不行四人，大家一起探讨，这样以学生为主体，使他们全都参与到课堂中去，使课堂达到高潮。在学生的讨论过程中，我也深入到学生中去，并做适当的点拨。

通过学生的讨论，学生不难得出用作差的方法证明该不等式，对此，我对他们进行鼓励、肯定，竖立他们学习数学的自信心。同时向他们讲明作差比较是我们高中阶段证明不等式的重要方法之一。最后我用多媒体展示书写过程，帮他们再次强化该方法的书写步骤。对于分析法，我估计学生可能会想到思路，会说出大致的证明过程，但对该方法的理解还是很模糊的，在这里，我首先向他们介绍这就是分析法，是我们证明不等式的另一个重要方法，接着讲解该方法，即从结论出发，推到已知结论或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成书写，帮他们学会规范的书写，即“要证，只要证”的形式

要证abab

2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab 2

因为最后一个不等式成立，所以ab ab成立，当且仅当ab，即ab时取"" 2

对于综合法，在证明这道题时，如果学生没有先想到，就把本方法在最后的方法中讲，因为综合法在本题中不易想到从哪个式子开始证明，但有了比较法和分析法后，学生自然能想到从哪个式子开始证明，同时讲清综合法的特点，即由条件，推倒结论。

讲完三种证明方法后，留一定时间给学生，让他们自己去感悟一下三种方法的特点及书写过程，加深他们的印象。

b2a2

最后，我以巩固本节课所学知识为目的，让学生比较:与ab的大小(其中ab

a,bR)，在这里，我认为比较两个变量的大小，可引导学生利用我们上课一开始比较具体数大小的方法，代几个具体的数去比较。这种方法在我们以后做填空题中比较大小是一种捷径。而本题的证明可利用我们今天课上所讲的三种方法，我打算让两位学生在黑板板演，以检验他们掌握情况与书写格式是否合理。如时间还有剩余，可由学生完成例一，帮他们巩固基本不等式定理。

例一1.设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba12(2) a2 aba

162.已知函数yx，x(2,)，求此函数的最小值。 x2(1)

六、回顾反思：

本节课的最后，由学生思考今天所学到了哪些知识，这些知识可解决哪些问题?

七、板书设计

基本不等式

一、定理

abab (a0，b0)

2二、证明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶综合法

三、探索 ab比较2a2b2的大小 2

如何证明

考研不等式的证明范文第5篇

在数学中，闵可夫斯基不等式(Minkowski不等式)表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个 度量空间

，

，那么

如果，等号成立

当且仅当，

或者

，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数 ，这里

是的维数;改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明 ，

，则可

我们考虑

的次幂：

(用三角形不等式展开

)

用 赫尔德不等式(见下文) 继续运算可得

(利用

，因为)

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

:

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德(Holder)不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，

0,0,1,

n

a则

i1



i

bi





aibii1i1

n

n

i

n



n



.

[证明] 令Aa

i1

,B

b

i1

i

那么



n

A



B



a

i1



i

bi



aibi

i1AB

n



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

bi

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB

n



aiA



bi

B成立



i1

aibi

AB

n







n

i

aA

i1





n

i

bB

i1

1



即

a

i1



i

bi



AB



aibi

,得证。

i1i1

n



n

考研不等式的证明范文第6篇

一、利用直角三角形的性质证明

例1, 证明。这一个不等式的证明建立在m>n>0的前提条件之下。高中生看到这样的题目的时候, 最好进行正确的分析, 即从给出的一直条件出发, 建立起一个直角三角形ABC, 并且令AB边等于m, 令BC边等于n。如下图所示, 当这样的图形构造完成之后, 可以直观地感受不等式给出的信息, 进而发现其中隐藏的条件。

通过分析可以知道AC等于, 所以可以得出一个结论即+n是大于m的。这时可以进一步开始分析因为题目中给出了特定的条件即m>n>0, 根据前面所分析的原因和结论可以推导出mn>n2, 而且2mn>2n2, 紧接着将思维拓展开来, 则可以得出2mn-n2>n2的结论。这样很容易就可以证明。[2]通过联系直角三角线的特征, 用来解决不等式的证明问题可以大大提高解题的效率, 而且证明的过程也会更加的清晰, 对于高中生应对考试具有重要的意义。

二、利用三角函数证明

例2, 证明f (a) -f (b)

三、利用长方体对角线性质证明

例3, 证明。这一个不等式证明满足一个前提条件即cos2α+cosβ2+cos2γ=1。当看到这样的一个题目的时候, 首先需要联系到等式的特征, 并且将思维带到长方体的对角线上面去。因为长方体的对角线中存在一个夹角, 其满足cos2α+cosβ2+cos2γ=1。所以这一道题目最关键的就是应用长方体的特征进行证明。几何构造图如下图所示。

对角线所提供给这一个等式证明的信息非常重要, 而且要知道当形成了直观的图像的之后, 还可以挖掘题目中隐藏的已知条件, 对于解答题目具有非常重要的价值。根据构造的几何图形可以迅速地判断出α、β以及γ所表示的角。进而就可以待证明的不等式中的tanα, tanβ, tanγ等式表示出来, 一步一步地推导就可以证明证明t。通过这样的方式可以训练自身的想象力, 而且因为证明题需要向阅卷者展示思路及证明的过程, 所以对于高中生的良好学习习惯培养也是非常有帮助的。高中生练习不等式证明题的时候除了应用比较常见的分析综合法之外, 可以应用几何图形构造法, 这种方法也是数形结合方法的其中一种, 能够提高解题的速率。

四、利用三角形面积和三角函数证明

例4, 证明sin2A>sin2B>sin2C。给出的已知条件是锐角三角形ABC, 这一个锐角三角形的三个内角分别为A、B、C, 而且三个角的大小从左到右依次减小。通过观察分析题目可以看出, 给出的已知条件非常的丰富, 而且能够快速抓住解题的关键点。但是因为需要证明的是这一个锐角三角形的正弦值大小的比较关系。这个时候高中生就应当从所学过的知识中迅速找出能够与这一关系式相关的内容, 或者联想能够帮助证明这一个不等式的知识。如可以结合三角形的性质和特征, 将题目中给出的信息与三角形的面积公式联系起来, 即三角形的面积公式底乘高除二。那么将这一种一般的公式转化成与正弦相关的内容, 即三角形的面积可以是三角形夹角边长的1/2, 然后乘以这一个夹角的正弦。这样转化之后可以将其与要求证明的不等式直接联系起来。

五、利用矩形面积证明

。这一道题目的证明建立在0

六、结束语

学习不等式需要丰富证明方法, 这样可以大大提高知识的融会贯通能力。几何证明不等式尽管实际应用范围相对较小, 但是对于解决一些具有难度的几何题目具有积极意义。因此, 高中生要重视自身几何图形构造的能力, 并学好不等式知识。

摘要：不等式的证明属于高中数学中的重要组成部分, 证明不等式的方式有很多, 其中几何证明法在教材中介绍的内容相对较少。本文主要介绍了高中不等式几何证明的具体方法, 希望可以帮助高中生学习不等式。

关键词：不等式,数学,几何证明

参考文献

[1] 高妍丽.对均值不等式的探讨[J].山西师范大学学报 (自然科学版) , 2013, S2:15-19.