2018江苏考研数学一真题及答案

2018 江苏考研数学一真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１．若函数在处连续，则（A）（B）（C）（D）【详解】，，要使函数在处连续，必须满足．所以应该选（A）2．设函数是可导函数，且满足，则（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）【详解】设，则，也就是是单调增加函数．也就得到，所以应该选（C）3．函数在点处沿向量的方向导数为（A） （B） (C） （D）【详解】，所以函数在点处的梯度为，所以在点处沿向量的方向导数为应该选（D）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为，计时开始后乙追上甲的时刻为，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，表 示 时 刻内 所 走 的 路 程 ． 本 题 中 的 阴 影 面 积分 别 表 示 在 时 间 段内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在时乙追上甲，应该选（C）．5．设为单位列向量，为阶单位矩阵，则（A）不可逆 （B）不可逆（C）不可逆 （D）不可逆【详解】矩阵的特征值为和个，从而的 特 征 值 分 别 为；；；．显然只有存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．6．已知矩阵，，，则 （A）相似，相似 （B）相似，不相似（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似【详解】矩阵的特征值都是．是否可对解化，只需要关心的情况．对于矩阵，，秩等于 1 ，也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是．对于矩阵，，秩等于 2 ，也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然不相似故选择（B）．7．设是两个随机事件，若，，则的充分必要条件是（A） （B）（C） （D）【详解】由乘法公式：可得下面结论：类似，由可得所以可知选择（A）．8．设为来自正态总体的简单随机样本，若，则下列结论中不正确的是（ ）（A）服从分布 （B）服从分布 （C）服从分布 （D）服从分布解：（1）显然且相互独立，所以服从分布，也就是（A）结论是正确的；（2），所以（C）结论也是正确的；（3）注意，所以（D）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9．已知函数，则 ．解：由函数的马克劳林级数公式：，知，其中为展开式中的系数．由于，所以．10．微分方程的通解为 ．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程有一对共共轭的根，所以通解为11．若曲线积分在区域内与路径无关，则 .【详解】设 ，显然 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有12．幂级数在区间内的和函数为 【详解】所以13 ． 设 矩 阵，为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向 量 组的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换，知矩阵 A 的秩为 2，由于为线性无关，所以向量组的秩为 2．14．设随机变量的分布函数，其中为标准正态分布函数，则 ．【详解】随机变量的概率密度为，所以三、解答题15．（本题满分 10 分）设函数具有二阶连续偏导数，，求，．【详解】，；．16．（本题满分 10 分）求【详解】由定积分的定义17．（本题满分 10 分）已知函数是由方程．【详解】在方程两边同时对求导，得 （1）在（1）两边同时对求导，得也就是令，得．当时，；当时，当时，，，函数取极大值；当时，，函数取极小值．18．（本题满分 10 分）设函数在区间上具有二阶导数，且，，证明：（1）方程在区间至少存在一个实根；（2）方程在区间内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件可知，存在，及，使得，由于在上连续，且，由零点定理，存在，使得，也就是方程在区间至少存在一个实根；（2）由条件可知，由（1）可知，由洛尔定理，存在，使得；设， 由 条 件 可 知在 区 间上 可 导 ， 且，分别在区间上对函数使用尔定理，则存...