2021山东考研数学三真题及答案

1x2021山东考研数学三真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）2(1)当 x  0 时， 0 (e1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C. x2 t 3x67x2 t 37【详解】因为当 x  0 时， 0 (e 1)dt确答案为 C. 2x(e1)  x，所以0 (e 1)dt 是 x 高阶无穷小，正 ex  1(2)函数 f (x)=  x, x  0 ,在 x  0 处 1, x  0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= lim ex  1 1  f (0) ，故 f (x) 在 x  0 处连续；x0x0 xf ( x )  f (0) ex  11xe x 1  x11因为 lim= limlim，故 f (0)  ，正确答案为 D.x0x  0x0x  0x0x 222(3)设函数 f (x)  ax  b ln x (a  0) 有两个零点，则 b 的取值范围是a(A) (e, ) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , ) .ee【答案】A.【详解】令 f (x)  ax  b ln x  0 ， f (x)  a  b ，令 f (x)  0 有驻点 x  b ， f  b   a  b  b  ln b  0 ，x从而ln b  1，可得 b  e ，正确答案为 A. t 2a1212a aaaa(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x 1, ex )  x(x 1) 2 ， f (x, x2 )  2x2 ln x ，则 df (1,1) (A) dx  dy .(B) dx  dy .(C) dy .(D) dy .【答案】C.【详解】 f (x 1, ex )  ex f (x 1, ex )  (x 1) 2  2x(x 1)①f (x, x2 )  2xf (x, x2 )  4x ln x  2x②x  0x  1分别将 y  0 ，  y  1 带入①②式有f1(1,1)  f2(1,1)  1 ， f1(1,1)  2 f2(1,1)  2联立可得 f1(1,1)  0 ， f2(1,1)  1 ， df (1,1)  f1(1,1)dx  f2(1,1)dy  dy ，故正确答案为 C.(5)二次型 f (x , x , x )  (x  x )2  (x  x )2  (x  x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x )  (x  x )2  (x  x )2  (x  x )2  2x 2  2x x  2x x  2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A   1 21  ，故特征多项式为 110 1| E  A | 121111  (1)( 3)令上式等于零，故特征值为1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.T 1 1  (6)设 A  (, ,, ) 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B = T ，  1 ， k 表示任意常数，1234 2  T 1 3  则线性方程组 Bx  的通解 x (A)2 3 4  k1 .(B)1 3 4  k2 .(C)1 2 4  k3 .(D)1 2 3  k4 .【答案】D.【解析】因为 A  (1,2 ,3 ,4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组1 ,2 ,3 ,4 是一组标准正交向量T  1 组， 则 r(B)  3 ， 又 B =  T   0 ， 所以齐次线性方程组 Bx  0 的通解为 k . 而4 2  44T  3 T 1 1  B(   ) =  T (   )  1  ， 故 线 性 方 程 组Bx  的 通 解123 2  123 T 1 3 ...