2021山西考研数学一真题及答案

112122021山西考研数学一真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） ex  1(1)函数 f (x)=  x, x  0 ,在 x  0 处 1, x  0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【解析】因为lim f (x)= lim ex  1 1  f (0) ，故 f (x) 在 x  0 处连续；x0x0xf ( x )  f (0) ex  11xe x 1  x11因为 lim= limlim，故 f (0)  ，正确答案为 D.x0x  0x0x  0x0x 222(2)设函数 f  x, y  可微，且 f (x 1, ex )  x(x 1) 2 ， f (x, x2 )  2x2 ln x ，则 df (1,1) (A) dx  dy .(B) dx  dy .(C) dy .(D) dy .【答案】C.【解析】 f (x 1, ex )  ex f (x 1, ex )  (x 1) 2  2x(x 1)①f (x, x2 )  2xf (x, x2 )  4x ln x  2x②x  0x  1分别将 y  0 ，  y  1 带入①②式有f1(1,1)  f2(1,1)  1 ， f1(1,1)  2 f2(1,1)  2联立可得 f1(1,1)  0 ， f2(1,1)  1 ， df (1,1)  f1(1,1)dx  f2(1,1)dy  dy ，故正确答案为 C.(3)设函数 f (x) sin x 在 x  0 处的 3 次泰勒多项式为ax  bx2  cx3 ，则1 x2(A) a  1,b  0, c   7 .(B) a  1,b  0, c  7 .6(C) a  1,b  1, c   7 .(D)66a  1,b  1, c  7 .6【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有sin xx33 237 33f (x)  1 x2  x  6  o(x )  [1  x  o(x )]  x x263o(x )011201 故a  1,b  0, c   7 ，本题选 A.6(4) 设函数 f  x  在区间0,1上连续，则1 f  x dx n 2k 1  1n 2k 1  1(A) lim  f .(B) lim  f .n k 1 2n 2nn k 1 2n  n2n k 1 12n k  2(C) lim  f .(D) lim  f   .n k 1【答案】B. 2n  nx0 k 1 2n  n【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 0,1分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则1n 2k 1  10 f (x)dx  lim  f 2n  n , 即选 B.n k 1 (5)二次型 f (x , x , x )  (x  x )2  (x  x )2  (x  x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【解析】 f (x , x , x )  (x  x )2  (x  x )2  (x  x )2  2x 2  2x x  2x x  2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A   1 21  ，故特征多项式为 110 1| E  A | 121111  (1)( 3)令上式等于零，故特征值为1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B. 1  1  3 (6)已知   0  ，   2  ，   1  ，记 ，   k ，   l   l  ，1   2   3   11221331 12 2若1 ， 2 ， 3 两两正交，则l1 ， l2 依次为5 1(A),.2 25 1(B),. 2 2(C)5 ,  1 .22(D) 5 ,  1 .22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知 0    [2 ,1 ]   2  ，[1,1 ]...