2020年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷

2020 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1. 设 多 项 式分 别 除 以， 所 得 余 式 为， 则除 以的余式为 .2. 设，则 .3. 已知，为矩阵，且秩，若秩，则 .4. 设，，且与线性相关，则 .5. 设有四个未知数的非齐次线性方程组，已知系数矩阵的秩为 3，方程组有三个解，其中，，则方程组的通解为 .6. 设和是 3 级实对称矩阵的两个不同的特征值，，是的属于特征值的特征向量，则 .7. 已知方阵满足，则 .8. 若实二次型是正定的，则 的取值范围是 .9. 维欧氏空间中，满足条件的正交基的度量矩阵 .10. 设为维欧氏空间，为中固定的向量，则子空间的维数为 .二、计算题（共 105 分）1. （15 分）计算阶行列式2. （15 分）设的两组基(I)(II)(1) 求由基(I)过渡到基(II)的过渡矩阵；(2) 求中在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式.3.（15 分）已知矩阵，且矩阵满足，求.4.（20 分）已知二次型所对应矩阵的三个特征值为. (1) 求; (2) 求一正交变换, 将二次型化为标准形.5. (20 分) 当取何值时，非齐次线性方程组(1)无解；(2)有唯一解；(3)有无穷多解，并在无穷解时，求其通解.6.（20 分）设 3 维欧氏空间中元素在的标准正交基下的坐标为，定义的线性变换如下其中表示与的内积.(1) 求线性变换在标准正交基下的矩阵；(2) 求的一组标准正交基，使在该组基下的矩阵为对角矩阵.三、证明题 （共 15 分） 已知的两个子空间，证明：.