关于平行线的证明题范文

关于平行线的证明题范文第1篇

一、选择题

1.若直线l1，l2的方向向量分别为a=(2,4，-4)，b=(-6,9,6)，则().

A.l1∥l2B.l1⊥l

2C.l1与l2相交但不垂直D.以上均不正确

2.直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A.s1=(1,1,2)，s2=(2，-1,0)

B.s1=(0,1，-1)，s2=(2,0,0)

C.s1=(1,1,1)，s2=(2,2，-2)

D.s1=(1，-1,1)，s2=(-2,2，-2)

35153.已知a=1，-，b=-3，λ，-满足a∥b，则λ等于(). 222

2992A.B.C.-D.- 322

34.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ().

A.a=(1,0,0)，n=(-2,0,0)

B.a=(1,3,5)，n=(1,0,1)

C.a=(0,2,1)，n=(-1,0，-1)

D.a=(1，-1,3)，n=(0,3,1)

5.若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A.n1=(1,2,3)，n2=(-3,2,1)

B.n1=(1,2,2)，n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1)，n2=(-2,2,1)

D.n1=(1,1,1)，n2=(-2，-2，-2)

6.已知a=(2，-1,3)，b=(-1,4，-2)，c=(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于().

62636065A.B.C.D. 7777

7.已知平面α内有一个点A(2，-1,2)，α的一个法向量为n=(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A.(1，-1,1)3B.1，3， 2



C.1，-3，

2

二、填空题



D.-1，3，-

2

8.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0，-1)，v2=(-2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______.

9.平面α的一个法向量n=(0,1，-1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s=________.

=0的_______.

12.已知AB=(1,5，-2)，BC=(3,1，z)，若AB⊥BC，BP=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________.

三、解答题

13.已知：a=(x,4,1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，a∥b，b⊥c，求：

11.已知AB=(2,2,1)，AC=(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________.

10.已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则APAB=0，且APAC=0是APBC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

1

则M0，1，，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，

22

1

1于是MN=，0，，

2

2设平面A1BD的法向量是n=(x，y，z). x+z=0，

则nDA1=0，且nDB=0，得

x+y=0.

取x=1，得y=-1，z=-1.∴n=(1，-1，-1).

11

又MNn=，0，(1，-1，-1)=0，

22

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.

15.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=

1.

(1)求证：E，B，F，D1四点共面;

(2)若点G在BC上，BG=M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.

证明 (1)建立如图所示的坐标系，则BE=(3,0,1)，BF=(0,3,2)，BD1=(3,3,3).

所以BD1=BE+BF， 故BD

1、BE、BF共面. 又它们有公共点B， 所以E、B、F、D1四点共面. (2)如图，设M(0,0，z)，

2

则GM=0，-，z，而BF=(0,3,2)，

3

由题设得GMBF=-3+z2=0，得z=1.

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME=(3,0,0).

又BB1=(0,0,3)，BC=(0,3,0)，

所以MEBB1=0，MEBC=0， 从而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC=B， 故ME⊥平面BCC1B1.

16.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，

AF=1，M是线段EF的中点.

求证：(1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF.

证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC∩BD=N，连接NE. 则点N、E的坐标分别为 22

，，0、(0,0,1).

2222∴NE=-，-1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



22∴AM=-，-1.

22

∴NE=AM且NE与AM不共线.∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE.

22

(2)由(1)知AM=-，-1，

22

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF=(0，2，1)

∴AMDF=0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF.

又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.

关于平行线的证明题范文第2篇

2 如图，空间四边形

,平行于与的截面分别交、AC、CD、BD于E、F、G、

H.

求证：四边形EGFH为平行四边形;

3如图，∥∥，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F， 求证：

ABDE. BCEF第 7 页

4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q分别是BC，C1D1，E，F，P，

AD1，BD的中点.

(1) 求证：PQ//平面DCC1D1. (2) 求PQ的长.

(3) 求证：EF//平面BB1D1D.

5 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别棱是CC1，C1D1，D1D，

CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MN//平面B1BDD1.

6 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM∶MBCN∶NBCP∶PD.

求证：(1)AC//平面MNP，BD//平面MNP; (2)平面MNP与平面ACD的交线//AC.

第 8 页

7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1.

8 图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MN//平面PAD.

9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

10 .如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上. 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

A

P

AE

C

B

关于平行线的证明题范文第3篇

1.实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2.最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3.常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4.三角形不等式:

||a|-|b|||a±b||a|+|b|。

例题选讲:

例1.解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:① -4g(x); f2(x)

-a

-5

即原不等式的解集是(-5，-3)∪(-1，1)。

例2.解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集(-∞，1)∪(3，+∞)。

例3.解不等式|

|1...........① -33

x<1或x>3。 x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3) (x+4)(3x+2)0,x≠1。

]。

-4x-|2x+3|2|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)20

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)0

。

∴原不等式的解集为[-4，-

例4.解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把(-∞，+∞)分成了三个区间;(-∞，-1)，

[-1，2]，(2，+∞)。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

(I)

-2

(II)

-1x2;

(III)

2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即(-2，3)。

例5.解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。

例6.已知:|a|<1, |b|<1。求证:|

证法1：欲证①，只需证

只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，

∴ 原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1<

只需证(

只需证

<0, +1)(

-1)<0,

<1, <1,

|<1.........①

只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0,

只需证

<0,

只需证

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0,

又(1+ab)2>0, ∴③式成立，

∴ 原不等式成立。

例7.求证:

证法1:

∵

∵ 上式显然成立，∴

又

证法2：这里只证明

分析:观察两式结构均为y=

=

+

成立。 |a+b||a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)(|a|+|b|)(1+|a+b|)

+

。

+。

∴ 原命题成立。

的形式，又∵|a+b||a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数在[0，+∞)上单调递增即可。

证明:设0x1x2, 则

-=，

∵ 0x1x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴ -≥0, 即≥,

设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b||a|+|b|,

∴

参考练习:

。

1.解不等式 |x2+3x-8|10。

2.解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3.解不等式 |

4.解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5.求y=

6.设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<

7.已知|x|<

参考答案:

1. [-6, -2]∪[-1, 3];

2. (-∞, -1);

3. [

4. 提示:首先求定义域(0，3)。其次求出二零点1，2。分三个区间(0，1]，(1，2]，(2，3)解即可。解集(0， ]∪[

，3)。 , 2)∪(6, +∞); , |y|<

, |z|<

, (ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。

, |f(2)|<

, |f(3)|<

,不可能同时成立。 的值域。

-3|>1。

5.提示:可用反解法解出sinx=

6.提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|<

，则解不等式||1得y∈[-4, -]。

, 及|9+3a+b|<同时成立。

由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z,

∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。 但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于

7.证明略。

关于平行线的证明题范文第4篇

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。 平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程;了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2.多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导;会求全微分; 偏导数的应用：方向导数和梯度;空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线;最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3.多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序;二重积分的计算(直角坐标、极坐标);利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);

曲线积分：两类曲线积分的计算方法;格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法;高斯公式。

4.无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P级数的敛散性;正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数;函数展开成幂级数。 傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5.常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式;

2、全微分公式;

3、方向导数公式;

4、拉格朗日乘数法;

5、格林公式、高斯公式;

6、函数的麦克劳林展开公式。