第 1 页 共 12 页2019 北京考研数学一真题及答案一、选择题，1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当x→0 时，若x−tan x 与xk 是同阶无穷小，则k=A.1.B.2.C.3.D.4.2.设函数f (x)={x|x|,x≤0,x ln x ,x>0, 则x=0 是f ( x)的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A.∑n=1∞ unn .B.∑n=1∞(−1)n 1u n .C.∑n=1∞(1−unun+1).D.∑n=1∞(un+12 −un2).4.设函数Q(x , y)= xy2，如果对上半平面（ y>0 ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有∮C P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0，那么函数P(x , y)可取为A.y− x2y3.B.1y − x2y3.C.1x − 1y .D.x− 1y .5.设A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵.若A2+ A=2 E ，且|A|=4 ，则二次型xT Ax 的规范形为第 2 页 共 12 页A.y12+ y22+ y32.B.y12+ y22− y32.C.y12− y22− y32.D.− y12− y22− y32.6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程ai1 x+ai2 y+ai3 z=di(i=1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A , A ，则A.r( A)=2,r( A)=3.B.r( A)=2,r( A)=2.C.r( A)=1,r( A)=2.D.r( A)=1,r( A)=1.7.设A ,B 为随机事件，则P( A)=P(B)的充分必要条件是A.P( A∪B)=P( A)+P(B).B.P( AB)=P( A)P(B).C.P( A B)=P(B A).D.P( AB)=P( A B).8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N (μ,σ2)，则P {|X−Y|<1}A.与μ 无关，而与σ2 有关.B.与μ 有关，而与σ2 无关.C.与μ,σ2都有关.第 3 页 共 12 页D.与μ,σ2都无关.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.9.设函数f (u)可导，z=f (sin y−sin x)+xy ,则1cosx⋅∂ z∂ x + 1cosy⋅∂ z∂ y = .10. 微分方程2 yy'−y2−2=0满足条件y(0)=1的特解y= . 11. 幂级数∑n=0∞ (−1)n(2n)! xn在（ 0，+∞)内的和函数S( x)= . 12. 设Σ 为曲面x2+ y2+4 z2=4( z≥0)的上侧，则∬z√4−x2−4 z2dxdy= .13. 设Α=（ α1，α2，α3）为 3 阶矩阵.若 α1，α2线性无关，且α3=−α1+2α2，则线性方程组Αx=0 的通解为 . 14. 设随机变量X 的概率密度为f ( x)={x2,0ΕX−1}= . 三、解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）设函数y(x)是微分方程y'+xy=e− x22 满足条件y(0)=0的特解.（1）求y(x)；（2）求曲线y= y( x)的凹凸区间及拐点.16.（本题满分 10 分）设a,b 为 实 数 ， 函 数 z=2+ax2+by2在 点 （ 3 ， 4 ） 处 的 方 向 导 数 中 ， 沿 方 向第 4 页 共 12 页l=−3i−4 j 的方向导数最大，最大值为 10.（1）求a,b ；（2）求曲面z=2+ax2+by2（z≥0 ）的面积.17.求曲线y=e−xsin x( x≥0)与 x 轴之间图形的面积.18.设an=∫01xn√1−x2dx ，n=（0，1，2…）（1）证明数列{an}单调减少，且an=n−1n+2 an−2（n=2，3…）（2）求limn→∞anan−1.19.设Ω 是锥面x2+( y−2)2=(1−z)2(0≤z≤1)与平面z=0 围成的锥体，求Ω 的形心坐标.20.设向量组α1=(1,2,1)T ,α2=(1,3,2)T ,α3=(1,a,3)T，为R3 的一个基，β=(1,1,1)T在这个基下的坐标为(b,c,1)T.（1）求a,b,c .（2）证明a2,a3，β 为R3 的一个基，并求a2,a3, β 到a1,a2,a3的过度矩阵.21.已知矩阵A={−2−212x−200−2}与B={2100−1000y}相似第 5 页 共 12 页（1）求x , y .（2）求可可逆矩阵P ，使得P−1 AP=B.22.设随机变量 X 与Y 相互独立， X 服从参数为 1 的指数分布，Y 的概率分布为P {Y =−1}=p,P {Y =1}=1−p,(0< p<1),令Z=XY（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关.（3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分 11 分）设总体X 的概率密度...
