2022年北京高考数学真题及答案

2022 年北京高考数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2．若复数 z 满足，则（）A．1 B．5 C．7 D．253．若直线是圆的一条对称轴，则（）A． B． C．1 D．4．已知函数，则对任意实数 x，有（）A． B．C． D．5．已知函数，则（）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增6．设是公差不为 0 的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是．下列结论中正确的是（）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态8．若，则（）A．40B．41C．D．9．已知正三棱锥的六条棱长均为 6，S 是及其内部的点构成的集合．设集合，则 T 表示的区域的面积为（）A．B．C．D．10．在中，．P 为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11．函数的定义域是_________．12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________．13 ． 若 函 数的 一 个 零 点 为， 则________ ；________．14．设函数若存在最小值，则 a 的一个取值为________；a的最大值为___________．15．已知数列的各项均为正数，其前 n 项和满足．给出下列四个结论：①的第 2 项小于 3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题 13 分）在中，．（I）求；（II）若，且的面积为，求的周长．17．（本小题 14 分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N 分别为，AC 的中点．（I）求证：平面；（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题 13 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19．（本小题 15 分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．（I）求椭圆 E 的方程；（II）过点作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N，当时，求 k 的值．20．（本小题 15 分）已知函数．（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，讨论函数在上的单调性；（III）证明：对任意的，有．21．（本小题 15 分）已知为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的，在 Q 中存在，使得，则称 Q 为连续可表数列．（I）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（II）若为连续可表数列，求证...