2024年北京高考数学试题及答案

2024 年北京高考数学试题及答案本试卷共 12 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．已知，则（ ）．A．B．C．D．3．圆的圆心到直线的距离为（ ）A．B．C．D．4．在的展开式中，的系数为（ ）A．B．C．D．5．设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）A．1B．2C．3D．47．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）A．B．C． D．8．如图，在四棱锥中，底面是边长为 4 的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.A．1B．2C．D．9．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）A．B．C．D．10．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值， 是表示的图形的面积，则（ ）A．，B．，C．，D．，第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11．抛物线的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．13．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．15．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列 4 个结论：①若与均为等差数列，则 M 中最多有 1 个元素；②若与均为等比数列，则 M 中最多有 2 个元素；③若为等差数列，为等比数列，则 M 中最多有 3 个元素；④若为递增数列，为递减数列，则 M 中最多有 1 个元素.其中正确结论的序号是 .三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数01234单数假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前 3 次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿 0.6 万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线 BD 的斜率为 0，求 t 的值．20．设函数，直线 是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证： 不经过点.(3)当时，设点，，，为 与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，...