2021年北京高考数学试题及答案

2021 年北京高考数学试题及答案第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 在复平面内，复数满足，则（ ）A. 1B.iC. D. 3.设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. B.C. D. 5. 双曲线过点，离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 6.已知和是两个等差数列，且是常值，若，，，则的值为（ ）A. B. 100C. 128D. 1327.已知函数，则该函数（ ）A. 奇函数，最大值为 2B. 偶函数，最大值为 2C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为8.对 24 小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆，直线，则当的值发生变化时，直线被圆 C 所截的弦长的最小值为 1，则的取值为（ ）A. B. C. D. 10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．11. 的展开式中常数项为__________．12. 已知抛物线，C 焦点为，点在上，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．13. ，，，则_______；_______．14. 若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的值___．15. 已知，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论的序号是_______．三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知在中，，．（1）求的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；17. 已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合 1 检测法”，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒．（1）①若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量 X 为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E(X)；（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果)．19. 已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．20. 已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，若|PM|+|PN|≤15，求 k 的取值范围．21. 定义数列：对 p∈R，满足：①，；②；③，．（1）对前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是数列吗？说明理由；（2）若是数列，求的值；（3）是否存在 p∈R，使得存在数列，对任意满足？若存在，求出所有这样的 p；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.C二、填空题11.-4 12. (1). 5 (2). 13. (1). 0 (2). 314. （满足即可）15. ①②④三、解答题16. （1）；（2）答案不唯一 由余弦定理可得边上的中线的长度为：；则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.17. （1）证明见解析；（2）．18. （1）①次；②分布列见解析；期望为（2）若时，；若时，；若时，.19. （1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为 ，最小值为.20.（1）；（2）．21.（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．