2019年北京高考理科数学真题及答案

2019 年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数 z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）1 （B）2（C）3（D）4（3）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），则点（1，0）到直线 l 的距离是（A）（B）（C）（D）（4）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若 x，y 满足，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为（A）−7（B）1（C）5（D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=lg，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）10−10.1（7）设点 A，B，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3．其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是__________．（10）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn的最小值为__________．（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．（12）已知 l，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（13）设函数 f（x）=ex+ae−x（a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%．①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为__________．三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求 b，c 的值；（Ⅱ）求 sin（B–C）的值．（16）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P–ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E 为 PD 的中点，点 F 在PC 上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD；（Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值；（Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由．（17）（本小题 13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于 2000仅使用 A18 人9 人3 ...