2023 年重庆考研数学三试题及答案一、选择题：1~10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 已知函数，则（ ）.A. 不存在，存在B. 存在，不存在C. 存在，存在D. 不存在，不存在【答案】A.【解析】由已知，则，.当时，，；当时，，；所以不存在.又，存在.故选 A.2. 函数的一个原函数为（ ）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知，即连续.所以在处连续且可导，排除 A，C.又时，，排除 B.故选 D.3. 若的通解在上有界，则（ ）.A.B.C.D.【答案】D.【解析】微分方程的特征方程为.①若 ，则通解为；②若，则通解为；③若，则通解为.由于在上有界，若，则①②③中时通解无界，若，则①②③中时通解无界，故.时，若 ，则，通解为，在上有界.时，若，则，通解为，在上无界.综上可得，.4. 设，且与收敛，绝对收敛是绝对收敛的（ ）.A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件【解析】由已知条件可知为收敛的正项级数，进而绝对收敛.设绝对收敛，则由与比较判别法,得 绝对收玫;设绝对收敛，则由与比较判别法，得绝对收敛.故选 A.5. 为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则A.B.C.D.【答案】B.【解析】由于，故.故选 B..6. 的规范形为A.B.C.D.【答案】B【解析】，二次型的矩阵为， ，，故规范形为，故选 B.7.已知向量组 ，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则( )A. B. C. D. 【答案】D.【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，，解得，故.8.设服从参数为 1 的泊松分布，则（ ）.A.B.C.D.【答案】C.【解析】方法一：由已知可得，,，故.故选 C.方法二：由于，于是于是.由已知可得，,，故..故选 C.9.设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，且两样本相互独立，记，，，，则( )A. B. C. D. 【答案】D.【解析】由两样本相互独立可得与相互独立，且，，因此，故选 D.10. 已知总体服从正态分布，其中为未知参数，，为来自总体的简单随机样本，记，若，则( ).A. B. C. D.【答案】A.【解析】由与，为来自总体的简单随机样本，，相互独立，且，，因而，令，所以的概率密度为，所以，由，即，解得，故选 A.二、填空题：11~16 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．求极限____________.【答案】.【解析】.12．已知函数满足，且，则____________.【答案】.【解析】由已知，，则，所以，即，，从而，又，解得，故，.13.____________.【答案】.【解析】令，则，且，，，从而可得微分方程，解得，又，，解得，故.14.某公司在 时刻的资产为，则从时刻到 时刻的平均资产等于，假设连续且，则____________.【答案】.【解析】由已知可得，整理变形，等式两边求导，即，解得一阶线性微分方程通解为，又，解得，故.15. 有解，其中为常数，若 ，则________.【答案】 【 解 析 】 方 程 组 有 解 ， 则 ， 故.16. 设随机变量与相互独立，且，，则与的相关系数为____________.【答案】【解析】由题意可得，，，又由与相互独立可知，，故三、解答题：17~22 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）已知函数满足，且.（1）求的值;（2）判断是否为函数的极值点.【解】（1）将代入得.方程两边对求导得，将代入上式得，解得.(2)由（1）知，上式两边再对求导得将代入上式得，所以是函数的极大值点.18.（本题满分 12 分）已知平面区域，（1）求平面区域的面积.(2)求平面区域绕一周所形成得旋转体的体积【解】(1).(2) .19.（本题满分 12 分）已知，求.【解】令，则20.（本题满分 12 分）设函数在上有二阶连续导数.（1）证明：若，存在，使得；（ 2 ） 若在上 存 在 极 值 ， 证 明 ： 存 在， 使 得.【证明】(1)将在处展开为，其中介于与之间.分别令和，则，，，，两式相加可得，又函数在上有二阶连续导数，由介值定理知存在，使得，即.(2)设在处取得极值，则.将在处展开为，...
