椭圆教学论文范文

椭圆教学论文范文（精选12篇）

椭圆教学论文 第1篇

1 椭圆教学设计

1.1 动手截圆锥，体验椭圆形成

活动1用平面去截圆锥讨论截面．

动手用平面截圆锥，得到圆、椭圆……还有抛物线、双曲线……截得的曲线称为圆锥曲线．古希腊数学家用平面去双截双圆锥，如图1.

古希腊数学家阿波罗尼斯奥撰写的名著《圆锥曲线论》对椭圆等曲线进行深入研究．内容广泛，解释详尽，几乎网罗圆锥曲线的所有性质．“千余年来，圆锥曲线毫无进展可言，后人几乎无插足之地”．

1.2 研究丹德林双球，发现椭圆特征

通过丹德林双球研究，可以发现椭圆的数量关系：

如图2，在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．两个球分别与截面切于点E,F，在椭圆上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B,C，能发现哪些等量关系？

AB=AF，因为AF,AB分别与小球相切于点F,B，又AB,AF所在平面截小球的切面是圆，AB,AF是同一圆的切线．

同理，AC=AE.

于是，AF+AE=AC+AB.

AC是两个球与圆锥相切得到的圆台的母线长，因而BC=AB+AC为定值，于是，椭圆上动点A到定点E,F距离的和不变．这就是数学家所发现的椭圆的重要特征．

1.3 拉线作图，定义椭圆

活动2数学家哈桑、蒙特的拉线作图．

(1）取一条一定长的细绳；

(2）把细绳的两端固定在作业本上的两点F1和F2;

(3）用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在作业本上慢慢移动，观察画出的图形．

椭圆定义平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹．这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点；两焦点之间的距离叫做焦距．

符号表示

思考椭圆存在的条件．

(1）方程槡表示的是_____．

(2）方程表示的是_____．

1.4 建坐标系，推导方程

建立适当的直角坐标系、设曲线上任意一点、找限制条件写出满足条件的集合、将坐标代入条件列出方程、化方程为最简形式、验证……

建系学生讨论椭圆的对称、点坐标表示简单，提出建立直角坐标系，如图4，最简洁．

设点针对坐标系，如图4，设M(x,y),F1(-c,0),F2(c,0).

找条件|MF1|+|MF2|=2a，代入化简，整理得

1.5 3个字母（b,c,a）勾股弦

观察：图5，从中找出表示a,c,a2-c2的线段，说明理由．

当曲线与y轴相交，即点P在y轴时，有|PF1|=|PF2|，且

所以有

同时，

自然

令|OP|=b，则

于是，a,b,c构成直角三角形POF2:3个常数b,c,a勾股弦，即有a2+b2=c2.

1.6 品鉴椭圆、思考方程

讨论如果椭圆焦点在y轴上，如图6，两焦点是F1(0,-c),F2(0,c），那么椭圆方程是什么？

类比得到，标准方程为

判定椭圆焦点所在坐标轴，写出焦点坐标，并指明a2,b2,c2的值．

根据焦点位置以及椭圆上任一点P到两焦点的距离和，确定椭圆标准方程．

(1）已知两焦点坐标是（-4,0),(4,0），椭圆上点P到两焦点距离的和等于10.

(2）变式1：上题焦点改为（0,-4),(0,4），结果如何？

(3）变式2：上题改为两焦点间距离为8，椭圆上一点P与焦点距离的和为10，结果如何？

2 评述

1）从截圆锥的活动中认识椭圆，从丹德林双球中发现椭圆的重要特征：“一动点到两定点的距离的和不变．”这为椭圆的定义做了充分的铺垫．丹德林双球探究活动中让学生体验到椭圆的悠久历史，感受椭圆的无穷魅力，也增强了椭圆的人文特性．

2）拉线作图活动体验椭圆定义．学生尝试数学家哈桑、蒙特等人的拉线作图活动，有助于体验椭圆的形成过程，掌握椭圆的定义，赞叹人类高超的智慧．从活动中感受椭圆图形，从操作中掌握椭圆的定义．学生的椭圆体验极为深刻，凸显椭圆本质规律．

3）让学生通过椭圆的对称、点坐标简洁表示建立坐标系，得到椭圆方程，认识到利用焦点所在坐标轴以及3个常数的意义就能写出椭圆方程．

4）“变是为了不变”．通过变式题再次让学生体验焦点的位置；通过焦点位置、坐标概括出“二个方程大对焦”，领悟椭圆标准方程常数的几何意义：3个常数b,c,a勾股弦．从椭圆标准方程中常数的意义，找到不变规律，感受椭圆所隐藏的秩序、和谐．

5）教学中，利用人类截圆锥得椭圆、拉线作椭圆，以及欣赏丹德林双球，揭示椭圆规律．这样，文化的参与不仅使教师认为，椭圆“可教的”，而且还让学生认为，椭圆“可学的”，师生共同领略椭圆所蕴涵的人文属性，体验椭圆的生命意义．“人们在掌握知识时，如果没有理解意义，那么，在知识被淡忘以后，它就很难留下什么；如果人们在学习知识时理解了它对生命的意义，即使知识已被遗忘，这种意义一定可以永远地融合在生命之中”[4]．自然而然，也就实现了椭圆标准方程的三维目标．

参考文献

[1]张映姜.欣赏圆锥曲线,体验历史文化[J].数学通报,2012,(11):41-43.

[2]赵凌飞.论审美教育中的审美体验[J].艺术教育,2011,(1):52,67.

[3][英]怀特海:教育的目的.[M].徐汝舟,译.北京:生活·读书·新知三联书店,2002:1.

椭圆教学反思[模版] 第2篇

本学期学习选修1-1《椭圆及其标准方程》，上完这节课后我认真地进行了反思，具体内容如下：

一、教学过程回顾

1、引入：（师生共同做实验）

手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？

（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

2、新课：

（1）归纳总结出椭圆的定义。（教师启发引导，学生回答）（2）推导椭圆标准方程。（推导之前先回顾求轨迹方程的方法）（3）椭圆标准方程。（教师板演方程，学生记忆方程）

（4）讲解例题。（教师启发引导，板演过程，学生分析，思考）（5）学生做练习。（学生板演，师生共同纠错）（6）小结（7）布置作业

二、成功之处：

1、教学方法上：结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学，体现了认知心理学的基本理论。

2.学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器”，课堂上为学生的主动参与提供时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），真正做到了：凡是学生能够自己观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、动手操作的，都尽量让学生自己去做，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识为自己的知识。

3.学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下，让学生充分参与进来，进行交流讨论，共同进步。

4、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。

5、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题，进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

二、不足之处：

1．本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视探究题的作用，因为班上有一部分同学基础比较扎实，而且对数学也比较感兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

2．学生练习时间不够充分，耽误了小结时间。

3．一部分学生的计算能力还不够熟练，缺乏简化计算的能力，今后还要继续加强对学生这方面能力的培养。

第29讲 椭圆 第3篇

椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，是高考常考不衰的热点.统计表明，各地高考试卷一般都保持着一小一大的格局；小题通常设置在选填题的靠后位置上，一般为能力题.从考查内容上看，主要考查椭圆的定义、性质、方程，解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题，通常出现在最后位置上.难点是能否把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题.学会运用数形结合和化归与转化的的思想解决问题.

命题特点

椭圆问题在选填题和解答题中均有出现，每年高考中基本上是一小一大抛物线在近年高考命题中有以下特点.（1）命题具有非常强的灵活性和新颖性.（2）灵活中强调基础.椭圆的定义及其性质的考查以基础题为主，椭圆大题属于中难度题，从涉及的知识上讲，常与函数，方程，最值，向量等综合命题.

1. 椭圆凸显定义，强调应用

例1 （1）已知[A（-12，0）]，[B]是圆：（x-[12]）2+y2=4（F为圆心）上一动点，线段[AB]的垂直平分线交[BF]于点P，则动点P的轨迹方程为________.

解析 如图，由题意知，[|PA|=|PB|，|PF|+|BP|=2].

所以|PA|+|PF|=2，且|PA|+|PF|>|AF|，

即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=[12]，b2=[34].

所以动点P的轨迹方程为x2+[43]y2=1.

（2）椭圆[x225+y216=1]上一点[P]到左焦点的距离为6，F是该椭圆的左焦点，若点[M]满足[OM=12OP+OF]，则[OM]=________.

解析 设右焦点为[F′]，由[OM=12OP+OF]知，M为线段[PF]中点，

∴[OM=12PF=1210-6=2.]

点拨 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解.

2. 椭圆中的几何性质应用

例2 在[Rt△ABC]中，[AB=AC=1]，如果一个椭圆通过[A，B]两点，它的一个焦点为点[C]，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为________.

解析 ∵在[Rt△ABC中，AB=AC=1]，

∴[△ABC]为等腰直角三角形.

设另一个焦点为[F]，如图所示.

由椭圆定义，[BF+BC=2a，AF+AC=2a]，设[BF=m]，则[AF=1-m].

则[2+m=2a，1+（1-m）=2a.]

两式相加得， [a=2+24.]

∴[AF=2a-AC=1+22-1=22.]

[Rt△ACF]中，由勾股定理得，[2c2=32.]

∴[c=64.]

∴[e=ca=6-3.]

3. 椭圆中的弦长问题

例3 椭圆两顶点[A（-1，0），B（1，0）]过焦点[F（0，1）]的直线[l]与椭圆交于[CD]两点.当[|CD|=322]时.求[l]的方程.

解析 由题意知，[b=1，c=1].

∴[a2=b2+c2=1+1=2].

∴椭圆方程为[y22+x2=1].

若直线[l]的斜率不存在时，[|CD|=22]，不合题意.

若[l]的斜率存在时，设[l]的方程[y=kx+1]，

联立[y=kx+1，y2+2x2=2，]

得[（k2+2）x2+2kx-1=0].

设[C（x1，y1），D（x2，y2）].

∴[x1+x2=-2kk2+2]，[x1x2=-1k2+2].

∴[|CD|=1+k2|x1-x2|=1+k2][·（x1+x2）2-4x1x2]

=[22（k2+1）k2+2].

即[22（k2+1）k2+2=322]，

解得[k2=2].∴[k=±2].

∴直线[l]方程为[y=±2x+1.]

点拨 （1）由已知点设直线方程时，要注意斜率存在和不存在的情况，适当时候要分类讨论.

（2）在解决有关弦长问题时，常用设而不求思想.

（3）过定点被定点平分的弦所在直线的方程.

（4）平行弦中点轨迹；过定点的弦的中点的轨迹.解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.

4. 椭圆中的最值与范围问题

例4 （1）设[P]是椭圆[x2a2+y2=1（a>1）]短轴的一个端点，[Q]为椭圆上的一个动点，求[|PQ|]最大值.

解析 依题意可设[P（0，1），Q（x，y）]，

则[|PQ|=x2+（y-1） 2].

又因为[Q]在椭圆上，所以[x2=a2（1-y2）].

[|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1]=[（1-a2）y2-2y+1+a2]

=[（1-a2）（y-11-a2）2-11-a2+1+a2].

因为[|y|≤1，a>1]，若[a≥2]，则[11-a2≤1]，

当y=[11-a2]时，[|PQ|]取最大值[a2a2-1a2-1].

若[1

（2）设[F1，F2]分别是椭圆[x24+y2=1]的左，右焦点，若[P]是该椭圆上的一个动点，求[PF1·PF2]的范围.

解析 易知[a=2，b=1，c=3]，

nlc202309032008

所以[F1（-3，0），F2（3，0）].

设[P（x，y）]，

则[PF1·PF2=（-3-x，-y）·（3-x，-y）]

=[x2+y2-3=x2+1-x24-3=14（3x2-8）.]

因为[x∈[-2，2]]，故当[x=0]，即点[P]为椭圆短轴端点时，[PF1·PF2]有最小值-2.

当[x=±2]，即点[P]为椭圆长轴端点时，[PF1·PF2]有最大值1.

点拨 最值与范围问题一般有两个思路：

（1）构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解（如本题第（1）问）.

（2）构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.

备考指南

1. 加强直线与椭圆的位置关系问题的复习，这类问题常涉及到椭圆的几何性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，常用设而不求法与弦长公式及韦达定理求解.

2. 圆锥曲线中探索性问题、范围问题要在复习中层层推进，逐步解决，从而攻克难点.

3. 注重数学思想方法的运用，如函数与方程的思想、化归与转化、数形结合的思想.

限时训练

1. 椭圆[x24+y25=1]的一个焦点坐标是 （ ）

A.[（3，0）] B.[（0，3）]

C.[（1，0）] D.[（0，1）]

2. 已知焦点在[y]轴上的椭圆[x2m+y21=1]，其离心率为[32]，则实数[m]的值是 （ ）

A.[4] B.[14]

C.[4]或[14] D.[12]

3. [c≠0]是方程[ax2+y2=c]表示椭圆或双曲线的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.不充分不必要条件

4. 已知椭圆[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点为[F（3，0）]，过点[F]的直线交椭圆于[A，B]两点.若[AB]的中点坐标为（1，-1），则[E]的方程为 （ ）

A. [x245]+[y236]=1 B. [x236]+[y227]=1

C. [x227]+[y218]=1 D. [x218]+[y29]=1

5. 若点[O，F]分别为椭圆[x24+y23=1]的中心和左焦点，点[P]为椭圆上的任意一点，则[OP?FP]的最大值为 （ ）

A. [6] B.[3]

C. [4] D.[8]

6. 若椭圆[x24+y23=1]上有[n]个不同的点[P1，P2，][P3，…，Pn，F]为右焦点，[PiF]组成公差[d>1100]的等差数列，则[n]的最大值为 （ ）

A.199 B.200

C.99 D.100

7. 已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[32]，双曲线[x22-y22=1]的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 （ ）

A. [x28+y22=1] B. [x212+y26=1]

C. [x216+y24=1] D. [x220+y25=1]

8. 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点分别为[F1（-c，0），F2（c，0）]，若椭圆上存在点[P]使[asin∠PF1F2=][csin∠PF2F1]，则该椭圆的离心率的取值范围为 （ ）

A. [（0，2-1）] B. [（22，1）]

C. [（0，22）] D. [（2-1，1）]

9. 如图所示，椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率[e=12]，左焦点为[F，A，B，C]为其三个顶点，直线[CF与AB]交于[D]点，则[tan∠BDC]的值等于 （ ）

A. 3[3] B. [-33]

C. [35] D. [-35]

10. 椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点分别为[F1，F2]，若椭圆[C]上恰好有6个不同的点[P]，使得[△F1F2P]为等腰三角形，则椭圆[C]的离心率的取值范围是 （ ）

A. [13，23] B. [12，1]

C. [23，1] D. [13，12?12，1]

11. 椭圆[x29+y24+k=1]的离心率为[45]，则[k]的值为________.

12. 椭圆的两焦点为[F1（-4，0），F2（4，0）]，[P]在椭圆上，若[△PF1F2]的面积的最大值为12，则椭圆方程为________.

13. 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上一点[A]关于原点[O]的对称点为[B，F]为其右焦点，若[AF⊥BF，]设[∠ABF=α，]且[α∈π12，π4，]则椭圆离心率的取值范围是 ________.

14. 已知椭圆[C1：x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）]和椭圆[C2：x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）]的离心率相同，且[a1>a2].给出如下三个结论，其中正确结论的序号是________.

①椭圆[C1]和椭圆[C2]一定没有公共点；

②[a1a2=b1b2]；

③[a12-a22

15. 如图，已知[△OFQ]的面积为[S]，且[OF]·[FQ]=1.设|[OF]|[=c（c≥2）]，[S=34c].以[O为中心，F]为一个焦点的椭圆经过点[Q]，当|[OQ]|取最小值时，求椭圆的方程.

16. [P]为圆[A：（x+1）2+y2=8]上的动点，点[B（1，0）].线段[PB]的垂直平分线与半径[PA相交于点M]，记点[M]的轨迹为[Γ].

（1）求曲线[Γ]的方程；

（2）当点[P]在第一象限，且[cos∠BAP=223]时，求点[M]的坐标.

17. 如图所示，设椭圆的中心为原点[O]，长轴在[x]轴上，上顶点为[A]，左、右焦点分别为[F1，F2]，线段[OF1，OF2]的中点分别为[B1，B2]，且[△AB1B2]是面积为4的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过[B1]作直线交椭圆于[P，Q]两点，使[PB2⊥QB2]，求[△PB2Q]的面积.

18. 如图，两条相交线段[AB]，[PQ]的四个端点都在椭圆[x24+y23=1]上，其中，直线[AB]的方程为[x=m]，直线[PQ]的方程为[y=12x+n].

（1）若[n=0]，[∠BAP=∠BAQ]，求[m]的值；

（2）探究：是否存在常数[m]，当[n]变化时，恒有[∠BAP=∠BAQ]？

对“椭圆及其标准方程”教学的探讨 第4篇

一、教科书上的椭圆的标准方程探讨(以焦点 在x轴上的椭圆为例)

由于该班部分学生养成了课前预习的好习惯,所以他们对书本上的研究思路还是很清晰的.以下是我上课时的片段.

教师:如何抓住定义求椭圆的方程?

生1:抓住两个定长求方程.如图1,设绳长为2a,焦距为2c.

生2:由|MF1|+|MF2|=2a,将相应点的坐标代入上式,得到 (x+c)2槡+y2+ (x-c)2槡+y2=2a.(给学生几分 钟时间化 简整理)

生3:移项,两边平方,移项再平方,化简得

教师:形式比较好,能否将方程变得更简单整齐些?

生4:因2a>2c→a>c→a2-c2>0,故两边同除以a2(a2-c2),则(1)化为:

教师:方程形式能再整齐些吗?

生5:能.令b2=a2-c2,则方程化为

教师:我们就把这个方程叫做是焦点落在x轴上的椭圆的标准方程.下面我们来巩固练习.

我的话音刚落,就听到有学生的声音.

生6:老师,别忙,我们有个问题.我们对刚才的探讨过程很是赞同,也知道将两个定长分别设为2a、2c的妙处,但就是不知道为什么书本上专家会想到设为2a,2c的,您能跟我们探讨一下吗?

其他同学:对呀,对呀!我们也想不通.

我犹豫了一下,如果继续研究,本节课任 务肯定不能完成,再说,这也不是重点内容。但是学生发 现了问题,教师不理不睬或一语蒙过,这都是对学生的不尊重,对培养学生解决问题的能力及探究意识的形成都是一种极大的摧毁.于是我决定放慢脚步,与他们一起来解惑.

二、学生在解惑中的椭圆的标准方程的 探 讨 (以 焦点在x 轴上的椭圆为例)

生7:我是这么想的.如图2,设|MF1|+|MF2|=m,|F1F2|=n,m>n>0,则 F1(-n/2,0)、F2(n/2,0).

生12:啊呀,我们今天收获可真大呀!不仅提出了问题,同时还解决了问题.知其然亦知其所以然.太谢谢老师给了我们这次机会,今后我们对数学更感兴趣了.

一节课很快就在愉快的氛围中结 束了。虽然没 来得及巩固练习,但是我也很受启发。我觉得那天学生倒是也给我上了一节优秀的改革课,感受颇深,难以言表。

三、这节课带给我的思考

首先,学生能质疑书本,提出这样的问题,这能培养他们发现问题的能力.备课时我也会参阅众多资料,但我几乎从未见到其他学生甚至同行们能发现这个问题.几乎所有资料或文献中对这个问题要么避免,要么直接参照课本方案.当然,或许个人有个人不同的想法.但反过来想,这样的问题的提出又是自然而然的.所以,虽然这节课看似不完整,但是我给了学生机会,随时关注他们,是否也是真正体现以学生为主体的一面呢?

再者,给学生足够时间研究问题,这能培养 他们解决问题的能力及探究能力.“授人以鱼,不如授人以渔”,高中数学新课程 标准指出:“强调本质,注意适度 形式化.高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,让学生体会蕴涵在其中的思想方法.”在方程的推导中,我们要遵循学生的认识规律,通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思 等过程,让学生逐步由感性认识上升到理性认识,把学生的学习知识当作认识过程事物的过程来进行教学,努力揭示知识的发生、发展过程.我想这样的课我们谁也终身难忘.

椭圆及其标准方程教学反思 第5篇

椭圆及其标准方程这节分为两课时，第一课时主要讲解椭圆定义及标准方程的推导；第二课时主要介绍椭圆定义及其标准方程的应用。

在第一课时中我从书中的小实验出发给学生演示并重点讲解动点在运动的过程中始终保持不变的几何特征即到两个定点的距离之和为定值（绳长）并通过改变两个定点的距离让学生直观体会椭圆的圆扁度与定点距离的关系，并提出思考若绳长和定点的距离相等及大于绳长时动点的轨迹又是什么？随后通过对学生分组进行讨论及总结给出定义；我在此时结合图形强调这个定值一定要大于两个定点的距离的理由，随后提出坐标法的基本思想并带着学生回顾动点轨迹方程的一般求法然后提出问题：椭圆的方程是什么引入第二部分即标准方程的推导；在推导椭圆标准方程时重点讲清楚坐标系的建立过程，并让学生总结建系的方法及原则；在椭圆标准方程的推导过程中由于是带有两个根式的方程化简对于我们学校的学生来说基础比较弱可能从来没遇到过，因此主要通过我在黑板上的推导及演算让学生看清过程，掌握推导方法并及时对动点轨迹方程的一般求法步骤再次进行学习引导并进一步深入总结。

得到椭圆标准方程后，让学生重点分析两个问题，第一个就是课本中的探究活动，让学生在图形中找到b的几何意义，并强调a>b>0;a>c>0b,c大小关系不确定；第二个就是提出方程的建立与坐标系有关，不同的坐标系方程是不同的，引出学生对焦点在y轴上的椭圆标准方程的推导产生兴趣，并自我完成推导过程，并通过分组讨论总结完成对椭圆标准方程推导。最后通过课本例1让学生初步体会椭圆定义及标准方程的应用。

跨界创新:椭圆飞车 第6篇

随着健身器材的发展，世界第一台椭圆机型自行车从诞生时起就吸引了大量眼球。它有高端公路自行车的济渤曲线，踏板车的简洁线条，闪亮的碳化纤维椭圆踏板。这款车的中央传动装置原理类似椭圆踏板机。相当柔和，把手还可以折叠，便刊收放。它受到人们喜爱的另+原因是，使用难度接近于零(不像看着就令^望而生畏的史密斯机)：你只需站上去开始踩就可以。

布莱恩·佩特是ElhpuGo(椭圆飞车)的发明者之一。他说： “展示样板时，人们都说就按照这个赶紧生产吧，我们知道自己至少成功了一半。”整个产品创意源自佩特的膝盖：2005年开始，他的膝盖已经无法继续跑步，但他也不喜欢健身房里的椭圆机或自行车。“我需要一种既能取得户外奔跑时的快感，又不会给膝盖增加负担的器材。”佩特说。可惜，当时这种产品并不存在，所以他决定自己来造。

他找来自己的好友布伦特·提尔帮忙。提尔是一位铁人三项赛运动员，也是个机械工程师。他在自家车库里架起工作室，利用铬铝钢、改进过的轮滑鞋的轮子、木板和旧三项全能自行车零件做出了第一个样板。

今年1月份，在推出四款设计样板和获得数百万美元的投资以后，佩特和提尔在加州索拉纳海滩开出总店，目前他们累计售出250辆车，每辆售价2199美元，其中两辆还卖给了纳帕谷警察局。很多专业人士也对这款新产品予以盛赞，包括超级马拉松之王迪安·堪加斯(他骑着ElhpaGo)从旧金山直抵洛杉矶，作为洛杉矶马拉松的赛前热身)，还有耐克俄勒冈长跑队选手亚当·高彻和三次参加奥运会的五项全能选手迈克尔·高斯提恩。

EUipuGo的良好口碑仍然在人群中广泛传播，这要归功于定期举行的试驾活动和“Epic Rude”比赛。佩特和提尔利用椭圆自行车赛事来挑战其他自行车品牌的活动，比如加利福尼亚Sierras品牌的129公里“死亡之路”。8月份，公司还在毛伊岛举办了1万英尺“奔向太阳”比赛。

他们希望夏季促销结束后能售出2000辆椭圆自行车，这样今年底就会开始有所盈利。而他们2011年的目标是实现销售11000辆，或许还会推出低端或高端型号。不过他们当下的主要目标还是开拓新产业。“这是我们的经营模式，”提尔说，“我们的目的不是生产看起来很酷的自行车，而是想要推介一种新的出行方式，既能到达目的地，又能获得很好的锻炼。”

最后一句话可没有夸大：这款8档车的最高时速可达25公里，眨眼间就可以将目瞪口呆的路人们用在身后。

椭圆弦中点问题的探究教学设计 第7篇

生: 椭圆平行弦中点的连线过原点,即画两条平行弦,取中点连线,再画两条平行弦,取中点的连线,两条线的交点即为椭圆的中心.

进而引导学生给出证明.

已知椭圆方程为,一组平行弦的斜率为k,当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段中点在一条过原点的直线上.

证法1( 点差法) : 直线l与椭圆交于A,B两点,设),AB中点M的坐标为,则,则两式相减,得

方法1是点差法,在解决中点有关问题时比较方便快捷,方法2体现了解析几何中设而不求的思想方法,也很好.

有了这样的依据,我们就可以找出任意椭圆的中心,也是椭圆弦中点性质的应用.

接下来我们看这样一个问题:

问题: 已知椭圆方程为

( 1) 直线l椭圆交于A,B两点,若已知AB中点M的横坐标为1,求直线l斜率的取值范围.

解法1,由前面的结论

∴y0= -1/2k. 又M (1,y0 )在椭圆内部,

解法2: 常规作法

从中引导出如下结论:

设A,B( AB不过原点) 是椭圆上的任意两点,M是弦AB的中点,若直线AB与直线OM的斜率都存在,则

在这个结论的基础上,还有哪些斜率之积为定值呢?

探究1: 设A,B是椭圆) 两长轴顶点,P是椭圆上任意一点( 异于A,B) ,当P与A,B连线的斜率都存在时,它们的斜 率之积是 否为定值? 若是,求此定值.

有学生探究并证明是定值,kPA·kPB= -b2/a2.

证法1: 设P (x,y),A (- a,0),B( a,0) 则

证法2: 如图,取PB的中点M,连接OM,则

探究2: 除椭圆长轴顶点外,点A,B在椭圆其他位置,是否也可能使得P与AB连线的斜率之积为定值?

推论: 设A,B是椭圆)上关于中心对称的两个点,P是椭圆上任一点,当P与A,B连线的斜率存在时,则它们的斜率之积为定值,即

类比,推广到双曲线

设A,B是椭圆上关于中心对称的两个点,P是椭圆上任一点,当P与A,B连线的斜率存在时,则它们的斜率之积为定值,即

应用:

( 2) 如图,过坐标原点的直线交椭圆于A,P两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,交x轴于点C,连接AC,并延长交椭圆于点B,求证: PA⊥PB.

方法1设P (x,y) 则A (- x,- y),C (x,0).

运用圆锥曲线的弦中点性质,可以解决与弦中点有关的很多问题,特别是江苏这道高考题,创造性的运用圆锥曲线弦中点性质来解题,让人有一种耳目一新的感觉,而且减少了繁杂的计算.

摘要：在已知椭圆中,关于其中点弦探究出如下结论:1已知弦中点坐标即可知弦的斜率;2弦的斜率与弦中点和原点连线斜率之积为定值;3若直线AB过椭圆的中心,P为椭圆上任一点,则kPA·kPB=-b2/a2,本文先探究出这三个结论并加以应用.

椭圆教学论文 第8篇

“椭圆标准方程”是继学习圆之后运用“曲线和方程”理论解决二次曲线的又一实例。从知识上说, 它是对前面所学的运用坐标研究曲线几何性质的又一次实际演练, 同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上说, 它为研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。椭圆概念的形成过程、椭圆方程的推导过程等方法为后续内容的学习做好铺垫。通过本节课教学, 主要培养学生观察、比较、分析、概括和探究的能力, 进一步渗透数形结合的思想、方法。因此, 学好本节课对学生学好解析几何有着举足轻重的作用。如何优化本节课的教学, 提高课堂有效教学, 是值得每个数学教师探讨的问题。

在传统的“椭圆标准方程”一课教学中, 通常由教师演示画椭圆的过程, 接着师生共同归纳椭圆的定义, 教师再进行补充说明;然后由教师推导焦点在X轴上椭圆的标准方程;最后讲解几道例题, 就完成了本节课的教学。传统的教学, 通常存在以下几个弊端:

1.重结论轻过程。结论与过程的关系是教学过程中一对十分重要的关系, “过程”体现数学的探究过程与探究方法, “结论”表征数学的探究结果。教学的重要目的之一, 就是使学生理解和掌握正确的结论, 所以必须重结论。但若不经过学生一系列的质疑、判断、比较、选择以及相应的分析、综合、概括等认识活动, 难以真正理解和巩固。所以, 不仅要重结论, 更要重过程。传统的教法, 教师通过自身演示画椭圆的过程, 学生借助书本抽象出椭圆的概念, 这使学生对椭圆概念的理解缺乏深度。若能让每个学生都亲自动手操作画椭圆, 让学生自主探索、尝试, 体会椭圆的形成过程, 使学生对椭圆知识的获得就更加深刻。

2.重知识传授轻思维训练。相对于具体的数学知识内容而言, 数学的思维训练显然更为重要, 因而, 我们应帮助学生学会数学思维。传统教学片面强调知识教学, 而忽视学生的思维训练。大多数教师认为职高生的思维能力较差, 因此, 职高的数学教学不宜过多地强调概念、定理的推导过程, 只要直接告诉结论, 能运用概念、定理和公式解题即可。这种观点忽视了数学教学的根本目的发展学生的思维品质。对于多数职高生而言, 具体的数学知识在其生活中, 未必能用上多少, 但通过数学学习形成的思维品质则是终身受用的。因此, 职高数学教学, 必须充分关注学生的思维发展过程。

3.重知识运用轻能力培养。由于大多数职高学生的数学基础比较薄弱, 教师对学生的要求也一降再降。例题和练习的选取只考虑知识层面, 只要求学生会套公式、代数据, 进行简单的演算, 只训练了学生的模拟能力、应试能力。通常是教师讲例题, 学生做类似题, 若遇题目变化, 学生就立即束手无策。要通过练习提高学生的数学能力, 关键是教师要认真处理教材, 通过一些典型题目的讲练, 把知识综合运用和能力提高进行有机整合。

二、策略推进

德国教育家第斯多惠指出:“教学的艺术不在于传授本领, 而在于激励、唤醒、鼓舞。”有效的数学教学, 课堂中应该让学生动手实践, 亲身体会知识的发生、发展过程。教学中以“问题”为纽带, 将知识点串成“链”, 通过问题导向使学生的知识和思维同步发展。通过精讲例题、精选习题, 培养学生的综合数学能力。

(一) 实验探究, 在探究中体验知识的生成过程

学习任何东西最好的途径是自己去探索。数学实验对学生理解数学概念、掌握数学规律意义重大。所谓“数学实验”, 是指根据研究目标, 创设或改变某种数学情景, 在某种条件下, 通过思考和操作活动, 研究数学现象的本质和发现数学规律的过程。数学实验教学是让学生通过自己动手操作, 进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动, 最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程。

1. 实验导入, 形成概念。

课前教师给每位学生一块泡沫板、一条弹性不大的细绳和两颗图钉。一开始, 教师要求同学们把细绳的两端都固定在图板的同一点处, 套上铅笔, 拉紧细绳, 移动笔尖, 让学生动手操作, 体验画圆的过程。接着, 教师要求同学们将细绳的两端拉开一段距离 (改变教师先设定的距离) , 分别固定在图板的两点F1、F2处, 移动笔尖一周, 探究此时笔尖画出的轨迹。学生动手作图, 使学生有感性认识。通过学生尝试画圆的过程, 再类比圆的定义, 通过“形”和“数”的结合, 让学生从理论和实践中体会椭圆上的点所满足的几何条件, 学生在教师的引导下, 抽象出椭圆的概念。

2. 实验操作, 完善概念。

椭圆概念初步形成之后, 教师又一次引导学生动手操作。改变两颗图钉之间的距离, 当两颗图钉之间的距离等于绳长时, 画出的是什么图形?当两颗图钉之间的距离大于绳长时, 画出的又是什么图形?学生们一边动手作图, 一边相互交流, 共同分享劳动成果。让学生亲自实验思考, 使学生的思维一直处于亢奋状态, 加深对椭圆定义中“常数大于F1F2”的理解, 使学生真正理解椭圆定义的内涵, 即只有当绳长大于两定点之间的距离时, 画出的图形才是椭圆。

3. 实验辅助, 拓展概念。

教师对本节课进行简单的总结后, 教师有选择地拿起几个同学画的椭圆图形, 通过观察图形, 让学生发现有的同学画的椭圆比较扁, 有的比较圆。教师要求同学们课外探究, 制约椭圆扁圆程度的因素是绳子的长度、两图钉之间的距离, 还是其他因素?要求在下节课中请同学们汇报探究结果。这让学生对问题的探究从课内延伸至课外, 有助于学生理解椭圆的内涵和外延;同时使本堂课前后有了呼应, 并为下节课做好铺垫, 使得教学过程具有连续性和有效性, 调动了学生的学习积极性。

(二) 问题导向, 在导向中培养学生的数学思维

问题是数学的心脏、思维的起点, 有问题才会有思考, 思维是从问题开始的。笔者对《椭圆标准方程》的再设计, 以问题为主线, 整堂课由四个大问题串联起来, 激发学生的求知欲, 促使教学目标的有效达成, 促进知识与思维的双向发展。

1. 导入性设问, 引发学生思维。

从原有的教学基础出发, 通过直觉或逻辑的手段提出数学问题, 是组织教学活动的一种重要方法。因此, 在教学中应注意抓住时机, 把问题摆出来, 使学生围绕问题最大限度地进行发挥。

问题:你能列举出生活中跟椭圆有关的实例吗?

数学知识都直接或间接地来源于现实世界, 是现实世界中的实际问题的数学抽象。“椭圆”是学生比较熟悉的图形, 生活中比较常见, 学生通过思考、交流能解答教师的提问。因此问题的设计符合绝大多数职高学生的认知水平, 教师顺理成章地引出课题, 也使学生明确了学习的目标。

2. 层次性设问, 启迪学生思维。

椭圆的定义和椭圆的标准方程是本节课教学的主要知识目标, 为了学习这两个目标, 教师在设计问题时根据学生的思维特点, 精心设计了三个层次性总问题, 使学生围绕“总问题”逐步开展探究活动。同时围绕每个总问题又设计一些“子问题”, 降低思维的难度, 让更多的学生参与到教学中来。

(1) 椭圆定义的引出设计了如下四个问题:

(1) 你所画出的椭圆中哪些量是固定不变的?哪些量是变化的?

(2) 你所画出的椭圆上的任意点P到两定点的距离始终存在怎样的关系?

(3) 类比圆的定义, 请你给椭圆下定义。

(4) 定义中“常数”为什么要进行限制?

四个问题的设置根据职高生的认知特点, 层层深入。问题 (1) 让学生借助实验从感性认识过渡到理性认识, 明确研究方向;问题 (2) 在问题 (1) 的基础上让学生通过观察发现椭圆上点的规律, 把握问题实质;问题 (3) 通过引发学生的认知冲突, 驱使学生积极主动地进行知识的回忆与重新建构;当学生认为对椭圆概念的表述完美无缺时, 教师再次让学生动手实验, 同时“乘胜追击”, 提出问题 (4) , 再一次引发学生思考, 使学生在思维的一次次蜕变中获得知识。

(2) 椭圆标准方程的推导围绕一个总问题和三个子问题进行教学。

求椭圆标准方程时, 笔者结合学生原有的数学基础和认知特点, 设计了一个总问题和三个子问题, 总问题是探究椭圆标准方程的步骤, 三个子问题都围绕总问题展开, 层层递进。

总问题:请同学们回忆求曲线方程的一般步骤。

子问题 (1) :结合已有的学习经验, 请你给手中所画椭圆建立一个适当的坐标系。

子问题 (2) :根据椭圆定义, 请列出点P所满足的关系式。

子问题 (3) :化简无理方程的关键是什么?

椭圆标准方程的推导是本节课教学的难点, 教师设计一些难易适中的问题, 使学生能够轻松地理解和掌握, 对求曲线方程的一般步骤又进行了一次回顾和应用, 同时为后面双曲线和抛物线方程的推导做了铺垫。通过子问题 (1) 、 (2) 、 (3) 的思考, 让学生体会求椭圆标准方程的一般步骤和解析几何的研究方法。

(3) 采用类比提问, 学习焦点在Y轴上椭圆的标准方程。

问题:请类比焦点在X轴上的椭圆标准方程, 说出焦点在Y轴上椭圆的标准方程。并比较两种形式标准方程的异同。

在数学的学习中, 类比不仅是一种良好的学习方法, 能使学生巩固旧知识掌握新知识, 而且还是一种良好的解题策略, 能使复杂的问题简单化、陌生的问题熟悉化、抽象的问题形象化, 让学生从枯燥的“题海”中解脱出来。因此, 在数学教学和解题中, 教师要有意识地对学生进行类比推理能力的训练。

3. 过渡性设问, 训练学生思维。

问题:根据椭圆标准方程, 判断其焦点在哪条轴上。

让学生直接运用椭圆标准方程解决问题, 加深对所学的两种情况椭圆标准方程的学习。问题设计较简单, 90%以上的学生都能回答, 让学生感受成功;通过口答形式进行, 重在训练学生思维的敏捷性。

(三) 习题融合, 在融合中提高学生的综合能力

数学习题是数学课程内容的一个重要组成部分, 通过师生讲练结合, 让学生会利用所学知识解决问题。从中渗透数学思想方法, 形成灵活的解题策略, 在教师的有效指导中发展学生的数学思维。笔者在选取题目时, 重点关注学生对所学知识的迁移和综合运用能力, 力求做到知识和能力、旧知和新知两方面的融合。

1. 知识和能力融合。

数学教学中, 既重视基础知识的学习, 又重视数学能力的培养, 才能实现逐步运用数学知识来分析和解决实际问题的目的。为此, 在设计习题时, 教师既要检测学生对本节课知识的落实情况, 又要让学生在听讲和亲自实践中提高学生的分析能力、迁移能力, 真正实现知识与能力的有机融合。

2. 旧知和新知融合。

大多数教师在选择题目时, 基本上呈现一些识记性、简单明了, 跟本节课密切相关的题目进行讲解, 让学生练习, 尽可能避免一些综合题目的出现, 其实这不利于培养学生的综合运用能力。为此, 笔者选取一些综合性较强的题目让学生练, 虽然有一定的难度, 但学生通过做这些题目使他们能把前面的知识和本节课所学知识进行有机融合, 体现数学思维的基础性、深刻性和广阔性。

例题讲解: (1) 根据下列椭圆的标准方程, 说出该椭圆的焦点坐标和焦距。

例题讲解: (2) 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (-4, 0) 和 (4, 0) , 椭圆上一点到两焦点的距离等于10, 求此椭圆的标准方程。

学生练习: (1) △ABC的边BC长为4, 周长为16, 求顶点A的轨迹方程。

学生练习: (2) 已知椭圆的焦点坐标是, 并且经过点, 求该椭圆的标准方程。

例 (1) 主要让学生会根据椭圆的标准方程求椭圆的焦点坐标和焦距, 属于知识的简单运用, 体现数学思维的基础性;例 (2) 主要让学生结合椭圆的定义和标准方程进行求解, 考察学生的数学综合能力, 体现数学思维的深刻性。学生练习 (1) 主要培养学生综合运用数学知识进行解题的能力, 考查学生求曲线方程步骤的掌握情况, 同时也考查学生对椭圆定义的理解程度、对旧知和新知的融合能力;学生练习 (2) 考查学生应用待定系数法求椭圆的标准方程掌握程度。

三、反思

1.有效的数学教学应让学生体验过程。数学学习过程强调, 有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆, 动手实践与合作交流是数学学习的重要方式。在教学中, 教师应激发学生的学习积极性, 向学生提供充分从事数学活动的机会, 在自主探究和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能。

2.有效的数学教学应让问题引领课堂。问题不仅是思维的起点, 也是思维的动力。知识只有围绕问题而展现出来, 才能很好地为学生所理解和接受, 进而真正成为其内在精神世界的有机组成部分。所以应让问题引领课堂, 使得教学更加有效。

3.有效的数学教学应让学生学会思维。数学是思维的体操。数学教学中利用有效的课程资源, 不断为学生创设良好的情境, 启动学生思维的翅膀, 吸引学生进入积极思维的学习境地, 从而叩开学生数学思维的心扉。

摘要：椭圆的标准方程是圆锥曲线方程的基础, 在解析几何中有着不可或缺的地位。让学生掌握椭圆标准方程的探究方法, 可为学生后续内容的学习奠定基础。教师通过挖掘教学资源, 优化教学方法, 对培养学生的探究意识、训练学生的数学思维和提高学生的数学能力, 意义深远。

关键词：椭圆标准方程,实验,问题,习题,数学思维

参考文献

[1]薛茂芳.数学观点与数学能力的培养.教育研究, 2003 (7) .

[2]徐红.对学生数学学习方式的思考研究.华东师范大学出版社学报, 2005 (1) .

[3]孔企平.有效教学的几个理论问题.上海教育科研, 2007 (2) .

椭圆教学论文 第9篇

椭圆概念的引入可以有多种不同的思路。按照教科书,椭圆是与两定点(F1、F2)距离(|F1P|、|F2P|)之和等于定长的点的轨迹,这样的定义很抽象、很数学化,不易于学生理解。从形态研究的角度,我们可以很直观地把椭圆看作是“压扁”了的圆,通过呈现热带与寒带的两尾鱼的图片给学生以直观的感受(见本刊第37页图1)。下面我们对两种引入方式的教学设计与实施作比较,并概述其主要结论如下。

一、用点间距离的定义推导标准方程

如图1,按椭圆定义|F1P|、|F2P|=2a,

其中P(x,y)、F1(-c,0)、F2(c,0),

联立①②解无理方程组可得:

两边平方并整理可得:

由于在椭圆中有a2-c2=b2

这是比较复杂又需技巧的推导。

二、用纵向“压缩”的定义推导标准方程

如图2,P'(x,y')、P(x,y),原图圆方程为,纵向按比例“压缩”x=x'、,即得到椭圆标准方程。

这样的推导十分直观、简单。可是,由“压缩”得到的椭圆上任一点P,与其两固定点F1、F2的距离之和是否等于定长呢?

在椭圆中,这个定长就是2a,而且

同理可得。

由此,由“压缩”产生的椭圆上的任一点,都有|F1P|+|F2P|=2a。

这就是椭圆的本质特征,它是椭圆的充分必要条件,所以也可以作为椭圆的定义。

三、两种设计思路的差别比较

椭圆教学论文 第10篇

学习受环境因素影响, 其中包括文化、技术和教学过程, 根据“以学生为中心教学的心理学原则”, 为了建构符合新课改理念的高效课堂, 我用椭圆定义推导这个教学案例, 想探讨这么几个问题:

1.如何激发学生学习的内在动机, 高效建构自己的知识?

2.如何将多媒体技术恰到好处地应用于数学教学, 使之与高科技无缝衔接?

3.如何将数学文化贯穿在数学教学中, 落实三维目标中的第三维目标:情感、态度、价值观?

下面便是该部分教学的实录以及体会.

一、教学过程实录

师:同学们, 我们即将进入圆锥曲线的神奇世界, 你们知道圆锥曲线的历史吗?

生: (摇头, 眼神充满了好奇)

师:两千多年前的亚历山大时期有三位科学巨匠, 其中之一是阿波罗尼斯 (用PPT展示这位古希腊数学家的图片, 让同学们认识伟人) , 他写过多部数学著作, 但以《圆锥曲线》最为成功, 那是古希腊继《几何原本》之后的又一部力作, 是阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度, 从一对对顶圆锥中得到三种圆锥曲线的方法, 我们来看一下他的成果 (Flash演示切割的动画) .

(学生边看动画边听老师说明) 用垂直于锥轴的平面去截圆锥, 得到的是圆;把平面渐渐倾斜, 得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时, 得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼斯曾把椭圆叫作“亏曲线”, 把双曲线叫作“超曲线”, 把抛物线叫作“齐曲线”.其中椭圆、抛物线、双曲线是我们要重点学习的圆锥曲线.

师:今天先学习椭圆.在生活中, 大家见过椭圆形的东西吗?

生1:橄榄、鸡蛋 (老师引导学生发现体与面的区别, 解决了圆锥曲线是平面图形的问题) .

生2:书上的数学实验里展示的示例 (表扬学生懂得看书, 能够发现有椭圆的现象) .

师: (用PPT展示生活和科技中的椭圆, 也是“实用”的椭圆) 酒楼装鱼的盘子的轮廓、油罐车上的油罐横截面轮廓、人造地球行星的轨道、行星绕太阳的运行轨道都是椭圆的.其中发现行星绕太阳沿着椭圆轨道运行的是德国天文学家开普勒.既然椭圆在我们的生活中无处不在, 那我们也拥有一个属于自己的椭圆吧!

生: (惊讶, 但也跃跃欲试)

师:现在我们来做个折纸游戏, 请大家拿出准备好的圆形纸片, 请你在圆形纸片上选择一个不是圆心的点, 在这点的位置上做个记号;接着请折叠纸片, 让圆形纸片的边界上有一点与做记号的点的位置重合;继续上面的步骤, 让它绕着圆形纸片的边界折下去, 最后看一看折痕构成什么图形.

生:“椭圆!”“不是椭圆吧?”“哪里会出现椭圆呢?”“最里面一圈的折痕就是椭圆.”“我的不是椭圆.”“那是你折的不够多.”“那真的是椭圆吗?”

(当学生互相讨论百思不得其解时, 老师开始点拨了)

师:这个问题我们怎么从数学的角度来验证呢? (利用“几何画板”) 将刚才的游戏抽象一下:我们首先有个圆, 那么设圆心为F1, 半径为2a, F2是在圆内不同于F1的一定点, |F1F2|=2c, (a, c都是常数) ;第二步, 在圆上取任意一点P (引导学生发现“让圆形纸片的边界上有一点与做记号的点的位置重合”指的是折痕与PF2连线垂直且平分PF2) ;第三步, 一直折下去, 折痕会构成椭圆, 是什么意思呢?

生1:点动成线, 应该是动点运动形成的.

师:很好, 能把具体的行为动作进行抽象, 抓住了问题的本质:动点的轨迹是椭圆.那么是哪个点运动?

(这时候很多学生会做大胆的猜想, 比如就是PF2与折痕的交点运动, 折痕与PF1相交的点运动, 等等.无论学生提出何种思路, 都用“几何画板”为他们验证, 最终发现:作线段PF2的垂直平分线及直线PF1, 记它们的交点为M, 并追踪点M, 让点P绕圆运动, 得M点轨迹, 是椭圆.)

原来是M点运动才是椭圆, 那么这个形成椭圆的点有什么特点吗?

生: (仔细观察, 互相讨论, 老师引导下发现) 椭圆上的点M与定点F1, F2的距离有关系:|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=2a.

师:2a是常数, 我们还有一个常数2c, 它们有什么关系呢?

生:F2在圆内嘛, 肯定0<|F1F2|=2c<2a.

师:对.那现在谁能总结一下, 什么样的点运动起来轨迹是椭圆?

生1:一个动点如果与两个定点的距离之和是2a, 那么它动起来就是椭圆.

师:2a会大于什么?

生2:2c.

生3:两定点间距离.

师:很好.这一点需要在定义中体现吗?

生: (声音弱弱的) 要吧?

师:不要吧?! (故意地反问激发学生想办法反驳)

生1:用“几何画板”看一下嘛!

生2:把F2拖动一下.

生3:改变一下2a.

生4:变2c嘛!

师: (回到“几何画板”, 根据学生的提示, 依次改变2a的大小;改变2c:2c=0, 观察椭圆的变化;2c逐渐接近2a, 观察椭圆的变化;拖动点F1 (或F2) , 都观察一番.) 好, 变完了, 你们说想要形成椭圆, 那么

生: (齐声高答) 2a要大于2c.

师:现在能补充完整定义了吗?请注意说明椭圆是平面图形还是空间图形.

生:平面上, 一个动点如果与两个定点的距离之和为2a (2a>2c>0) , 那么该点运动轨迹是椭圆.

师:很好!这就是椭圆的定义. (将学生的总结写在黑板上, 学生很高兴) 两个定点我们用F1, F2表示, 叫作椭圆的焦点, 2c指两定点间的距离, 叫作焦距.刚才动用“几何画板”的时候, 我们发现如果2a=|F1F2|, 动点的轨迹不再是椭圆, 而是什么?

生:线段.

师:如果2a<|F1F2|呢?

生:轨迹不存在.

师:如果2c=0呢?

生:变成圆了.

师:所以圆是椭圆的一种特殊形式, 恭喜你们思维得到拓展.所以椭圆上的任意一点到两焦点的距离和等于常数2a, 这个2a必须大于2c.开普勒在1609年就发现行星绕太阳沿着椭圆轨道运行, 而且太阳正好处在这个椭圆的一个焦点上.我们所居住的地球就是一个行星, 所以地球到太阳的距离加上它到另一个焦点的距离之和等于一个常数, 而且这常数大于太阳和另一个焦点的距离.要想知道另一个焦点是什么, 那个常数是多少, 大家不妨课后百度一下. (生大笑) (把椭圆定义与现实结合一下, 让学生感受到数学与实际的联系其实很紧, 此时再让学生念一下定义能加深记忆.)

师:我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过:“数缺形时少直观, 形少数时难入微, 数形结合百般好, 隔离分家万事休, 切莫忘, 几何代数统一体, 永联系, 莫分离.”我们刚才赏玩图形时, 该想想:怎么才能深入研究呢?

生: (禁不住发出感叹, 被这首诗折服) 建系, 列方程! (沉思着投入到下面内容的学习中去)

二、本课例教学体会

首先, 要注重激发学生学习的内在动机.“以学生为中心教学的心理学原则”告诉我们:学习者的创造性、高级思维和本能的好奇心都会影响学习动机.当学习者认为学习任务具有新颖性和难度, 和自己的兴趣有关, 并且他们有个人的选择和控制权时, 他们的内在动机就会被激发.

为了达到这个重要目的, 我用了两个点进行突破:

第一, 与传统的数学实验的比较, 本课例的设计更能激发学生的好奇.椭圆定义教学的传统引入采用的是用硬纸板, 两颗图钉, 一根定长细绳子来画椭圆, 这也是课本上给出的数学实验.而本课例采用的是用折纸游戏来引入教学, 折纸是在圆形纸片上折出椭圆的形状, 可以给学生直观的感受:椭圆和圆有联系.而且用折纸教学, 学生不知道会在哪出现椭圆, 他们很好奇, 所以很愿意配合加入活动.课堂上活动参与面广, 为学生互助讨论奠定了基础.传统教学在引入时是先回忆圆的定义, 再做数学实验, 实际上, 学生在做的时候已经有思维定式了:画出来的一定是椭圆.无法有效地提升学生的兴趣.我国教育鼻祖孔子也曾经说过:“知之者不如好之者, 好之者不如乐之者.”动手操作方面折纸和画线比起来, 活动量更多, 有待探索的问题更多, 更能让学生快乐.传统数学实验需要吗?需要.它可以帮助学生从多角度看待问题, 给学生新鲜感, 也促进学生思考整合不同资源, 提高能力.新课标指出, 教师是学生数学建构活动中的设计者, 也是活动的组织者、参与者、促进者, 而并非仅仅是知识的传授者.对教材的“二次开发”即对教材创造性、个性化的处理, 更让教与学成为师生的一种共同享受.

第二, 在本课例的教学中, 对椭圆定义的引出, 不是教师直接给定义, 而是让学生进行归纳, 在关键的地方2a>2c设问, 让学生主动思考, 积极探求, 努力尝试解决, 在不断地修改中最终得到准确的定义, 学生们也尝到了成功的喜悦;同时在尝试的过程中由学生提出也顺便解决了当2a=2c, 2a<2c, 2c=0时的对应图像问题, 使教学目标水到渠成地得以实现.

其次, 恰当运用多媒体教学, 既发挥现代化教学工具的直观形象的作用, 又不使学生觉得唐突.本课例的设计让用多媒体讨论2a与2c的关系变得自然而必要, 也符合培养学生现代科学技术素养与能力的要求.传统教学中, 同学们做完课本上的数学实验, 老师只要拿两个学生所画的椭圆展示:线段长一样, 为什么我们所画的椭圆不一样, 有扁有圆呢?学生就能发现这与两定点F1, F2的位置有关.而此时只要让学生改变一下F1, F2的位置再画一画就会发现F1, F2的位置越近椭圆越圆, F1, F2越远椭圆越扁.换句话说, 用画图就能解决问题了, 没必要用到多媒体教学.而后面讨论2a与2c时却突然用到多媒体, 会使学生觉得唐突椭圆怎么就一下子出现了, 2a与2c好像是安上去的一样.而本堂课为了解决同学们对折纸结果的疑问自然地引用多媒体帮助, 而且多媒体是再现了每个具体动作的过程, 即用先进的多媒体技术把具体行为进行抽象, 使学生了解到来龙去脉.这样在对定义归纳的过程中产生的疑问, 学生能自然而然地想到用多媒体解决, 从课堂表现来看确实如此.从课堂实际来看, 多种猜想的验证, 让学生体会到哪个才是真正的动点, 游戏形式的动手活动与抽象的点、线的转化能提升学生的抽象思维能力.通过拖拉图形, 对定义中2a>2c的要求体会更深, 同时也培养学生分类讨论的能力, 在后续的检验中发现学生对2a, 2c的分类讨论对应的不同图形印象深刻, 不可不说是多媒体的功劳!不过如果能采用网络教室进行教学, 让每个学生都能动手任意拖动图形, 就更能在观察、探索、发现的过程中培养每个个体对图形的感性认识, 会出现更多的思维碰撞, 形成更为丰富的几何经验, 真正做到“因材施教, 有的放矢”.在下次的教学中, 可以尝试网络教学.

再次, 在教学中恰当地引入数学文化, 有助于实现第三维目标.三维目标中的第三维目标即情感、态度、价值观.情感、态度、价值观是新课改的产物, 它与知识技能、过程方法紧密结合, 是对知识价值的理解和学习主动性、积极性的提升.情感、态度、价值观的培养不仅要靠优秀人物的引领, 更要靠浓厚的文化氛围.《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) 》在基本理念中就充分肯定了数学的文化价值, 特别是在“课程实施建议”的“教材编写建议”中指出, 教材可以在适当的地方介绍有关的数学背景知识 (数学家的故事、数学趣闻与数学史料) .而《普通高中数学课程标准 (实验) 》则进一步强调:数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势, 数学对推动社会发展的作用, 数学的社会需求, 社会发展对数学发展的推动作用, 数学科学的思想体系, 数学的美学价值, 数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用, 逐步形成正确的数学观.在本课例中笔者引入了华罗庚先生的诗, 引起了学生的极大反响, 在实际上课时, 当老师念完这首诗时, 学生都不由地发出“哇”的一声, 原来数学还能这么诗意!在这种诗意的气氛中自然地增加学生的文化底蕴, 增强学生的审美体验, 在愉悦的气氛中领略数学的魅力.本课例还在适当的地方, 不仅仅是在引入的部分, 给学生讲解数学知识发生的历史, 或者我们学习的知识与现实的联系, 让数学知识鲜活起来, 充满意义与活力.通过对数学文化的介绍, 不仅让学生受到美的熏陶, 而且可以帮助学生在汲取前人思想智慧的同时形成看待现实的理性态度, 形成正确的世界观、人生观和价值观.

最后, 必须在培养学生对实际问题进行数学思考的能力上下工夫.从上课的反应可以看出, 一个实际的问题是折圆变椭圆, 转成用数学符号表达, 用数学思维分析, 用数学能力解决对学生来说困难不小.而让学生具有数学思维是数学教学的灵魂.现在的课堂关注情景教学, 即用生活化的场景来引入数学, 其目的是让数学生活化, 有利于学生展开数学思考.当遇到生活中的问题, 或是有实际背景的题目, 如何让学生自然地并乐意地用数学思维, 比如分类、归纳、类比、猜想与论证等等来解决它?如何让学生学会并熟练地应用数学思维思考生活化的问题呢?这方面还需要我们老师多注意观察生活, 下苦功研究.只有老师能娴熟地运用数学知识分析和思考生活中的实际问题, 才能影响和熏陶学生逐步养成数学思维的良好习惯, 提高他们应用数学知识分析问题解决问题的能力.而这些能力的提高不仅能帮助学生在解题上, 甚至在实际生活中都能从容地应对各种问题, 这便是我们数学科教学的真正目的, 也是学生学习数学的真正意义!

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2004.

椭圆有关问题的解决方案 第11篇

例1设定点[F1]（0，－3）、[F2]（0，3），动点[P]满足条件[PF1+PF2=a+9a(a>0)]，则点[P]的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．线段

C．不存在D．椭圆或线段

解析当[a=3]时，[PF1+PF2=F1F2]，点[P]的轨迹是线段[F1F2]；

当[a>0]且[a≠3]时，[PF1+PF2>F1F2]，点[P]的轨迹是以[F1]、[F2]为焦点的椭圆．

例2下列命题是真命题的是（ ）

A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆

B．到定直线[x=a2c]和定点[F(c，0)]的距离之比为[ca]的点的轨迹是椭圆

C．到定点[F(－c，0)]和定直线[x=-a2c]距离之比为[ca(a>c>0)]的点的轨迹是左半个椭圆

D．到定直线[x=a2c]和定点[F(c，0)]的距离之比为[ca(a>c>0)]的点的轨迹是椭圆

解析由教材第47页例6（特例）与第51页的（一般性）描述知：椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]也可以定义为“平面内到定点[F(c，0)]和定直线[x=a2c]的距离之比是常数[ca(a>c>0)]的点的轨迹．”故选D．

点拨（1）椭圆的第一定义：椭圆是平面内与两定点[F1]、[F2]的距离的和等于常数(大于[F1F2])的点的轨迹．

（2）椭圆的第二定义：平面内到定点[F(c，0)]和定直线[x=a2c]的距离之比是常数[ca(a>c>0)]的点的轨迹是椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]．点[F(c，0)]为右焦点，直线[x=a2c]为右准线．

方案二、利用“椭圆的第二定义”推导椭圆的焦半径公式

例3 椭圆[x225+y92=1]上不同三点[Ax1，y1]、[B4，95]、[Cx2，y2]与焦点[F4，0]的距离成等差数列，求证[x1+x2=8]．

证明由椭圆方程知[a=5]，[b=3]，[c=4]．

由椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的第二定义知[AFa2c-x1=ca]，

∴[AF=a-ex1=5-45x1]．

同理[CF=5-45x2]．

∵[AF+CF=2BF]，且[BF=95]，

∴[5-45x1+5-45x2=185]，

即[x1+x2=8]．

点拨设[P(x0,y0)]为椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]椭圆上的任一点，[F1(-c,0)]、[F2(c,0)]分别为其左、右焦点，则有

左焦半径公式[PF1=a+ex0,]

右焦半径公式[PF2=a-ex0.]

方案三、运用“待定系数法”求椭圆的标准方程

例4已知[B、C]是两个定点，[|BC|＝6]，且[△ABC]的周长等于16，求顶点[A]的轨迹方程.

解析以[BC]所在直线为[x]轴、[BC]中垂线为[y]轴建立直角坐标系，设[A(x,y)]，根据已知条件得[|AB|+|AC|=10.]

再根据椭圆定义得[a=5,c=3,b=4]，

所以顶点[A]的轨迹方程为

[x225+y216=1] （[y]≠0）.

例5已知椭圆经过两点（[-32,52)与(3,5)]，求椭圆的标准方程.

解析设椭圆的方程为[mx2+ny2=1(m>0,][n>0,][m≠n)]

则有[m(-32)2+n(52)2=1m(3)2+n(5)2=1]，解得 [m=16,n=110.]

所求椭圆的标准方程为[x26+y210=1].

点拨学习时，尤其要加深对椭圆的两种标准方程的比较：

方案四、运用“离心率的定义”求椭圆的离心率

例6 已知[F1、F2]是椭圆的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠PF1F2=15°,∠PF2F1=75°]， 则椭圆的离心率为.

解析由椭圆离心率的定义，结合正弦定理，有

[e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sin90°sin75°+sin15°=sin90°sin(45∘+30°)+sin(45°-30°)=63.]

例7若椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，则椭圆的离心率为.

解析依题意得 [(2c)2=(2a)⋅(2b)]，即[c2=ab]，

所以[c4=a2b2⇒c4=a2(a2-c2)]．

两边同时除以[a4]，得 [e4=1-e2]．

解得 [e2=5-12]， 所以[e=5-12]．

点拨求椭圆的离心率时，若不能直接求得[ca]的值，通常由已知条件寻求[a]、[b]、[c]的关系式，再与[a2=b2+c2]组成方程组，消去[b]，得到[a]、[c]的方程，再转化为[e]的方程求解．椭圆的离心率[e=ca∈(0,1)]，反应了椭圆的扁平程度，离心率越小椭圆越扁．

方案五、运用“整体思想”解决椭圆的中点弦问题

例8已知椭圆[x22+y2=1]，求过点[P12，12]且被[P]平分的弦所在的直线方程．

分析一已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为[k]，利用条件求[k]．

解法一设所求直线的斜率为[k]，则直线方程为[y-12=kx-12]．代入椭圆方程，并整理得

[1+2k2x2-2k2-2kx+12k2-k-32=0]．

由韦达定理得[x1+x2=2k2-2k1+2k2]．

∵[P]是弦中点，∴[x1+x2=1]，故得[k=-12]．

所求直线方程为[2x+4y-3=0]．

分析二设弦两端坐标为[x1，y1]、[x2，y2]，列关于[x1]、[x2]、[y1]、[y2]的方程组，求斜率[y1-y2x1-x2].

解法二 设过[P12，12]的直线与椭圆交于[Ax1，y1]、[Bx2，y2]，则由题意得

[x212+y21=1，①x222+y22=1，②x1+x2=1，③y1+y2=1. ④]

①－②得[x21-x222+y21-y22=0]． ⑤

将③④代入⑤得[y1-y2x1-x2=-12]，即直线的斜率为[-12]．所求直线方程为[2x+4y-3=0]．

点拨（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，用于解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是“应用韦达定理”及“点差法”．对其它二次曲线问题也适用．

方案六、利用“函数思想”解决椭圆中的范围或最值问题

例9过椭圆[2x2+y2=2]的焦点的直线交椭圆[A、B]两点，求[△AOB]面积的最大值 ．

分析由过椭圆焦点，写出直线[AB]方程为[y=kx+1]，与椭圆方程联立，消去[y]，得关于[x]的一元二次方程，巧妙地利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果．

解焦点[(0,±1)] ，设直线过焦点(0，1) ，直线方程为[y=kx+1]与[2x2+y2=2]联立 ，消去[y]，得 [(2+k2)x2+2kx-1=0]，其两根[x1、x2]为点[A、B]的横坐标．将三角形[AOB]看作[△AOF]与[△BOF]组合而成，[OF]是公共边，它们在公共边上的高长为 [|x1-x2|]．

[∴SΔAOB=12|OF|⋅|x1-x2|]，其中[OF=c=1]．

[∴SΔAOB=12|x1-x2|]=[12(x1+x2)2-4x1x2]

=[124k2+4(2+k2)(2+k2)2]=[2k2+1+1k2+1+2][≤22.]

当[k2+1=1k2+1]即[k=0]时取“=”，即当直线为[y=1]时，得到[△AOB]的面积最大值为[22] ．

点拨先建立函数模型，再求函数的最值，是解决椭圆中的最值问题的最基本的方法．这里利用均值不等式求最值，关键的技巧是“配凑”．在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：①每一项要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立．其中正确应用 “等号成立”的条件是这种解法的关键．

方案七、利用“方程思想”解决直线与椭圆的综合题

例10椭圆的两焦点坐标分别为[F1(-3,0)]和[F2(3,0)]，且椭圆过点[(1,-32)]．

（1）求椭圆方程；

（2）过点[(-65,0)]作不与[y]轴垂直的直线[l]交该椭圆于[M、N]两点，[A]为椭圆的左顶点，试判断[∠MAN]的大小是否为定值，并说明理由．

解析（1）由题意，可求得椭圆方程为[x24+y2=1.]

(2)设直线[MN]的方程为[x=ky-65,]

联立直线[MN]和曲线[C]的方程[x=ky-65,x24+y2=1.]

消去[x]，得[(k2+4)y2-125ky-6425=0]

[Δ=(125k)2-4×(k2+4)×(-6425)=(125k)2+4×(k2+4)×6425>0,]

设[M(x1,y1), N(x2,y2), A(-2,0)]，

则[y1+y2=12k5(k2+4),][y1y2=-6425(k2+4),]

则[AM⋅AN=(x1+2,y1)⋅(x2+2,y2)]

[=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,]

所以 [∠MAN=π2]．

点拨（1）研究直线与椭圆的位置关系时，通过联立直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．

①△>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；

②△=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；

③△<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．

椭圆教学论文 第12篇

另一方面来说,数学思想方法还有下面这些,如特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等,这些思想方法明显比上述知识型的思想方法来得更为高端。为什么这么说?笔者以为,知识型的思想方法固然重要,但其依旧只解决了就题论题的层面,无法给予学生更多的学习能力上的提高,而特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等思想方法却在更高的层面引领学生进行思维的开发,比如:从特殊到一般的思想可以帮助学生认识抽象问题的具体解决,可以采用先尝试特殊进而总结归纳一般的探索之路;类比思想可以用来将未知范畴内的问题通过已经所掌握知识比较解决,这是一种思想、意识形态上的提高.因此,本文将从类比思想的视角去审视教学的一些探索,以圆与椭圆的类比进行尝试,与大家交流。

1.圆和椭圆类比伸缩的认识

众所周知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)可以看作是圆x2+y2=a2在纵向均匀压缩为原来的b a倍,横向不变得到的——这就是“纵向伸缩变换”。(本文研究的椭圆均为焦点在x轴,焦点在y轴的类似)记:已知圆上点P(x,y)变换成P′(x′,y′),纵向变换为f:,显然这是一个一一映射(可逆的),且由于P,P′横坐标相等,因此PP′连线必垂直x轴。同理:有横向伸缩变换。

2.圆和椭圆类比伸缩的性质

性质1:f将直线变换为直线,且变换后直线斜率为原来直线斜率的b /a倍。

简证:设原直线斜为y=kx+m,经过变换后直线为a/ by′=kx′+m,即斜率k′=b /ak。

说明:由此可知,变换前后两直线平行性保持不变。

性质2:f将分线段AB为定比λ的点P变换成分线段A′B′为同一分比的点P′。

说明:由定比分点公式可知证明易,不赘述.此性质说明变换前后同一直线上的点分线段所成的比是不会改变的。

性质3:一个面积为的三角形经变换后的三角形面积S′=b /aS。

简证:设△A1A2A3三个顶点坐标分别为Ai(xi,yi),则xi=xi′,yi=yi′(i=1,2,3),所以:

说明:此性质可以推广到多边形的面积,即变换前后两个多边形面积之比为S′/S=b/ a。

3.圆和椭圆类比伸缩的运用

例1:已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),A,B分别为椭圆左右顶点,P为椭圆上任意异于A,B的点.求证:KAP·KBP是定值。

证明:把纵坐标变换为原来的a/ b倍,则椭圆变成半径为a的圆,如图1,已知圆中KAP·KBP=-1,由性质1得:kAP·kBP=b/a KAP·b/ aKBP=-b2/a2。(本性质可以再椭圆中进行证明,但是运算量比通过伸缩变换证明稍显复杂一些。)

例2:已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),P为椭圆上任意异于椭圆顶点的点,过P作倾斜角互补的两直线PA,PB交椭圆于A,B两点,求证:只要P点给定,则kAB为定值。

证明:把纵坐标变换为原来的a /b倍,则椭圆变成半径为a的圆,如图2,经过同样的伸缩变换,圆中

两直线斜率KPA+KPB=0,在圆中作P关于x轴对称点D(恰在圆O上),则∠APD=∠BPD,故,连接AB,OD,易知OD⊥AB,显然KAB=-1/KOD,只要P点给定,即可知KAB为定值,由性质1,椭圆中kAB=b /aKAB为定值。

注:高三复习卷中时常出现为定点,求kAB为定值的试题,笔者将试题改编为只要P点坐标可知的任意点,均可求证kAB为定值.可以想象,任意的点P代数计算较繁琐,利用椭圆和圆的伸缩变换达到了简化计算的效果。

例3:点P(x0,y0)在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上,x0=acosβ,y0=bsinβ(0<β<π/2),直线l2与直线l1:垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ。

求证:点是椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线l1的唯一交点。(安徽高考数学09年理科20)

分析:问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程。由过圆x2+y2=a2上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=a2,可知利用伸缩变换得到直线l1:x0x /a2+y0y /b2=1即为过点P的椭圆切线。

证明:把纵坐标变换为原来的a/ b倍,则椭圆变成半径为a的圆,则过圆上点Q(X0,Y0)(Q为P的一一对应点)的切线方程为:X0x+Y0y=a2,又伸缩变换f:,代入得即为直线l1的方程.因此,l1就是椭圆在点P的切线方程。证毕。22

例4求椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)内接n边形面积的最大值.

解析:把纵坐标变换为原来的a/ b倍,则椭圆变成半径为a的圆,如图3,可知在圆中:

4.类比教学探索的思考

上述运用类比性质进行的圆和椭圆问题的探索,是笔者教学中一些数学问题积累的总结。通过研究,笔者发现椭圆是圆的更为一般化的形态和情形。用一个形象的比喻来说,对于圆的研究是最基本、最为对称的图形深入思考,犹如三角函数中最基本的函数模型,那么类比研究经过伸缩变换的三角函数模型恰如椭圆般的图形,这种变换关系存在于数学知识的很多知识之中。

本文所阐述的是圆和椭圆的类比伸缩教学研究,其实从更高的角度而言,笔者思考了一个问题:从圆锥曲线第二定义的角度来说,椭圆、双曲线、抛物线本质是一个统一体,只不过是其到定点的距离与到定直线距离比值不同的曲线形态,那么圆既然可以类比到椭圆,那么圆应该也可以突破更高的限制(诸如曲线不需要封闭之类特性),类比得到相对应的双曲线、抛物线中去,得到相应的数学性质和更高的研究突破能力,值得有兴趣的教师做进一步的思考。

通过类比教学研究,笔者也有几点不成熟的思考与大家交流:

(1)上述几个例题,有少数来自学生的提出和探索,笔者觉得学生对于感兴趣的数学问题研究兴趣和热情远远在教师之上。教师的作用更在于进行良好的引导,给予这样的学生更宽松的学习环境,既提高了学生学习的兴趣,也有助于学生研究问题能力的提高。

(2)意识类的思想方法教学要更注重在教学中的渗透,尤其是特殊与一般、类比思想、转化与化归思想等等。这些思想看似无形,却每时每刻出现在学生待解决的数学问题中,通过引导学生利用学过的指数类比解决未知范畴内的知识,这正是努力培养学生自主探索和积极建构的有效途径,而且从一定程度上对于教师的专业化水平提高有较为明显的帮助。

摘要：类比思想是中学数学教学中一种较为常见的数学思想,类比教学恰成为中学数学教学常常使用的一种教学手段。本文以圆和椭圆的类比研究为例,谈一谈利用类比思想挖掘数学教学的研究.